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第一章　多元函数微分学 1

1.1　多元函数 1

一、邻域 1

二、内点、外点、边界点、聚点 2

三、区域 3

四、多元函数的概念 4

五、等值线 5

六、多元函数的极限 6

七、多元函数的连续性 8

习题1.1 10

1.2　偏导数 12

一、偏导数的概念 12

二、偏导数与连续 15

三、偏导数的几何意义 16

四、高阶偏导数 17

习题1.2 20

1.3　全微分及其应用 21

一、全微分的概念 21

二、可微的性质 22

三、可微的充分条件 24

四、全微分在近似计算中的应用 26

习题1.3 29

1.4　多元复合函数的求导法则 31

一、复合函数求导的链式法则 31

二、一阶全微分形式的不变性 37

三、复合函数的高阶偏导数 38

习题1.4 41

1.5　隐函数存在定理及隐函数求导法 44

一、隐函数求导法 44

二、隐函数存在定理 52

习题1.5 57

1.6　偏导数在几何上的应用 59

一、空间曲线的切线和法平面 59

二、空间曲面的切平面和法线 63

习题1.6 68

1.7　方向导数与梯度 70

一、方向导数 70

二、梯度 75

习题1.7 79

1.8　多元函数的泰勒公式 80

一、带拉格朗日型余项的展开式 80

二、多元函数泰勒公式的矩阵形式 85

习题1.8 87

1.9　向量值函数及其导数 87

习题1.9 91

1.10　多元函数的极值与最大（小）值 91

一、无条件极值 92

二、有界闭区域上的最大值与最小值 96

三、条件极值·拉格朗日乘数法 99

四、最速下降法 104

五、线性规划问题 110

六、最小二乘法 115

习题1.10 116

复习题 119

第二章　多元数量值函数积分学 122

2.1　多元数量值函数积分的概念及性质 122

一、多元数量值函数积分的概念 122

二、积分的性质 127

习题2.1 128

2.2　二重积分的计算 129

一、二重积分的几何意义 129

二、在直角坐标下的计算法 131

三、在极坐标下的计算法 139

四、二重积分的换元法 144

习题2.2 148

2.3　三重积分的计算 152

一、在直角坐标下的计算法 152

二、在柱坐标下的计算法 156

三、在球坐标下的计算法 159

四、三重积分的换元法 162

习题2.3 164

2.4　第一类曲线积分的计算 168

一、曲线的弧长 168

二、第一类曲线积分的计算 172

习题2.4 175

2.5　第一类曲面积分的计算 176

一、曲面的面积 176

二、第一类曲面积分的计算 180

习题2.5 183

2.6　积分在物理上的应用 184

一、重心 184

二、转动惯量 188

三、引力 190

习题2.6 193

复习题 194

第三章　多元向量值函数的积分 197

3.1　第二类曲线积分 197

一、第二类曲线积分的概念与性质 197

二、第二类曲线积分的坐标形式及计算公式 199

三、第二类曲线积分的应用 206

习题3.1 208

3.2　第二类曲面积分 210

一、第二类曲面积分的概念与性质 210

二、第二类曲面积分的坐标形式及计算公式 213

三、第二类曲面积分的应用 220

习题3.2 221

3.3　各类积分之间的联系 223

一、格林公式 223

二、高斯公式 229

三、斯托克斯公式 235

习题3.3 240

3.4　曲线积分与路径无关性 242

一、曲线积分与路径无关的条件 242

二、全微分方程 253

习题3.4 257

3.5　场论初步 258

一、场的概念 258

二、通量与散度 259

三、环流量与旋度 263

四、保守场与势函数 264

习题3.5 266

复习题 267

第四章　无穷级数 271

4.1　常数项级数的概念与性质 271

一、常数项级数的概念 271

二、常数项级数的性质 275

三、级数收敛的必要条件 278

习题4.1 279

4.2　常数项级数的判敛法 280

一、正项级数的判敛法 281

二、交错级数的判敛法 292

三、绝对收敛与条件收敛 294

四、广义积分及其判敛法 298

五、Г-函数与β-函数 307

习题4.2 313

4.3　幂级数 316

一、函数项级数的一般概念 316

二、幂级数的收敛性 318

三、幂级数的运算 324

习题4.3 329

4.4　函数展开成幂级数 330

一、泰勒级数 330

二、函数展开成泰勒级数 333

习题4.4 341

4.5　幂级数的应用 342

一、用幂级数表示函数 342

二、近似计算 343

三、欧拉公式 347

四、微分方程的的幂级数解 348

习题4.5 353

4.6　傅里叶级数 353

一、三角级数 354

二、函数展开成傅里叶级数 356

习题4.6 363

4.7　正弦级数与余弦级数 365

一、奇偶函数的傅里叶级数 365

二、函数展开成正弦级数与余弦级数 369

习题4.7 371

4.8　任意周期函数的傅里叶级数 372

一、周期为2l的周期函数的傅里叶级数 372

二、傅里叶级数的复数形式 378

三、傅里叶积分 381

习题4.8 384

复习题 386

习题答案 389