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第一章 空间理论 1

距离空间 1

定义与例子 1

完备距离空间 3

开集与闭集 7

可分距离空间 8

连续映射 9

列紧空间 11

压缩映射原理 15

习题1.1 18

赋范线性空间 21

定义与例子 21

有限维赋范线性空间 25

习题1.2 28

内积空间 31

内积空间的概念与基本性质 32

正交分解 35

正规正交系 38

习题1.3 44

拓扑空间简介 45

拓扑空间 46

连续映射与同胚 47

第二章 Banach空间上的有界线性算子理论 49

有界线性算子 50

定义、例子与基本性质 50

有界线性算子的范数 54

算子空间与Banach代数 58

习题2.1 61

Hahn-Banach延拓定理 63

线性泛函的延拓 63

有界线性泛函的存在性 68

习题2.2 69

有界线性泛函的表示 70

n维空间Kn上的有界线性泛函 70

lp（K）（1<p<∞）上的有界线性泛函 71

Lp［a,b］（1<p<∞）上的有界线性泛函 73

C［a,b］上的有界线性泛函 77

Hilbert空间上有界线性泛函的表示 77

习题2.3 78

共轭空间与共轭算子 79

共轭空间 79

共轭算子 83

习题2.4 86

Banach逆算子定理 88

逆算子的概念与基本性质 88

逆算子的有界性 89

习题2.5 94

闭图像定理与一致有界原理 95

闭算子与闭图像定理 95

一致有界原理及其应用 97

习题2.6 99

强弱收敛与弱*-收敛 100

点列的弱收敛 100

算子列的强、弱收敛 102

泛函列的强、弱收敛与弱*-收敛 105

习题2.7 106

紧算子 107

定义与例子 107

紧算子的性质 108

习题2.8 111

第三章 非线性算子 113

连续性与有界性 113

定义与例子 113

连续算子的性质 114

一类复合算子的连续性与有界性 115

习题3.1 117

紧性与全连续性 119

定义与基本性质 119

全连续算子的结构 120

习题3.2 124

抽象函数的导数 124

实变抽象函数的导数 124

复变抽象函数的导数 127

习题3.3 130

抽象函数的积分 130

定义 130

可积条件 131

运算性质 134

习题3.4 135

Frechet导算子 136

定义与性质 136

中值定理与导算子的全连续性 143

高阶导算子与Taylor公式 145

习题3.5 149

Gateaux导算子 150

定义与性质 150

两种微分之间的关系 151

习题3.6 156

偏导算子与隐算子定理 156

偏导算子 157

隐算子存在定理 159

反算子存在定理 164

习题3.7 165

附录 167

半序集与Zorn引理 167

概念与例子 167

Zorn引理 168

泛函延拓定理的证明 169

算子谱论简介 171

正则点与谱点 171

谱半经 172

紧算子的谱理论 173

参考书目 174