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第一篇 微积分学 3

第1章 函数、极限、连续 3

1.1 函数 3

1．预备知识 3

2．函数的概念 4

3．函数的几个简单性质 4

4．反函数与复合函数 6

5．初等函数 7

6．几种非初等函数 16

7．几种常用曲线 17

1.2 极限 22

1．数列极限 22

2．函数极限 23

3．函数极限的运算法则 26

4．极限存在的夹逼准则 27

5．两个重要极限 27

6．常用极限 28

7．无穷小量与无穷大量 28

1.3 函数的连续性 31

1．函数的连续性 31

2．函数的间断点 32

3．连续函数的运算与性质 33

4．闭区间上连续函数的性质 34

5．一致连续性定义与定理 35

第2章 导数与微分 36

2.1 导数 36

1．导数的概念 36

2．导数基本公式和求导法则 39

3．高阶导数 43

2.2 微分 45

1．微分的概念 45

2．微分基本公式与微分法则 46

3．微分在近似计算中的应用 48

第3章 中值定理与导数应用 49

3.1 中值定理与洛必达法则 49

1．中值定理 49

2．洛必达（L'Hos pital）法则 53

3.2 导数的应用 54

1．函数的单调性 54

2．函数的极值与最大值、最小值 55

3．曲线的凹凸性与拐点 56

4．函数图形的描绘 58

5．弧微分与曲率 59

第4章 不定积分 63

4.1 不定积分的概念与性质 63

1．原函数 63

2．不定积分 63

3．性质 64

4.2 计算不定积分的基本方法 64

1．换元积分法 64

2．分部积分法 67

4.3 几种特殊类型函数的积分 69

1．有理函数的积分 69

2．三角函数有理式的积分 71

3．几类简单无理函数的积分 71

4.4 积分表 72

1．基本积分公式表 72

2．简明积分表 74

第5章 定积分及其应用 87

5.1 定积分的概念与性质 87

1．定积分的概念 87

2．定积分的性质 89

5.2 微积分基本公式 90

1．积分上限函数 90

2．积分上限函数的求导法则（原函数存在定理） 90

3．牛顿-莱布尼兹公式 91

5.3 定积分的计算方法 91

1．换元积分法 91

2．分部积分法 92

3．常用定积分公式 92

4．定积分的近似计算公式 93

5.4 广义积分 93

1．无穷限的广义积分 93

2．无界函数的广义积分 95

3．无穷限广义积分的审敛法 96

4．无界函数广义积分的审敛法 98

5．Г函数 98

5.5 定积分的几何应用 99

1．定积分的微元法 99

2．平面图形的面积 99

3．空间立体的体积 100

4．平面曲线的弧长 101

5.6 定积分的物理应用 102

1．变速直线运动的路程 102

2．变力沿直线所作的功 102

3．水压力 102

4．引力 103

5．平均值 104

第6章 向量代数与空间解析几何 105

6.1 向量及其运算 105

1．向量及加减运算 105

2．向量与数的乘法 106

3．空间直角坐标系 107

4．向量的坐标表示及计算 107

6.2 数量积与向量积 109

1．数量积 109

2．向量积 110

3．混合积 111

6.3 空间平面与直线 112

1．空间平面及其方程 112

2．空间直线及其方程 114

6.4 空间曲面、曲线及其方程 116

1．空间曲面 116

2．空间曲线 119

第7章 多元函数微分法及其应用 121

7.1 多元函数的基本概念 121

1．区域 121

2．多元函数的概念 123

3．二元函数的极限 124

4．二元函数的连续性 125

7.2 偏导数 127

1．偏导数的定义及其计算法 127

2．高阶偏导数 130

7.3 全微分及其应用 131

1．全微分的概念 131

2．全微分在近似计算中的应用 133

7.4 多元函数的求导法则 133

1．多元复合函数的求导法则 133

2．隐函数的求导公式 135

7.5 微分法在几何上的应用 137

1．空间曲线的切线与法平面 137

2．曲面的切平面与法线 139

7.6 方向导数与梯度 140

1．方向导数 140

2．梯度 142

3．场论基本概念 143

7.7 多元函数的极值及其求法 144

1．多元函数的极值及最大值、最小值 144

2．条件极值和拉格朗日乘数法 146

7.8 二元函数的泰勒公式 147

1．二元函数的泰勒公式 147

2．误差估计式 148

3．二元函数的麦克劳林公式 148

第8章 重积分 149

8.1 二重积分的概念与性质 149

1．二重积分的概念 149

2．性质 150

8.2 二重积分的计算方法 151

1．利用直角坐标计算二重积分 151

2．在极坐标系下二重积分的计算方法 152

8.3 二重积分的应用 156

1．几何应用 156

2．物理应用 157

8.4 三重积分的概念及计算 158

1．三重积分的概念 158

2．在直角坐标系下三重积分的计算 159

3．在柱面坐标系下三重积分的计算 161

4．在球面坐标系下三重积分的计算 162

5．三重积分的应用 162

8.5 含参变量的积分 163

第9章 曲线积分与曲面积分 165

9.1 对弧长的曲线积分 165

1．概念与性质 165

2．计算公式 167

3．对弧长的曲线积分的应用 168

9.2 对坐标的曲线积分 168

1．概念 168

2．性质 170

3．计算公式 170

4．两类曲线积分之间的关系 171

9.3 格林公式及其应用 172

1．格林公式 172

2．平面上曲线积分与路径无关 175

9.4 对面积的曲面积分 177

1．概念与性质 177

2．计算方法 178

9.5 对坐标的曲面积分 179

1．概念与性质 179

2．计算方法 182

3．两类曲面积分之间的关系 183

9.6 高斯公式与斯托克斯公式 183

1．高斯（Gauss）公式 183

2．斯托克斯公式 185

3．向量微分算子 187

第10章 无穷级数 189

10.1 常数项级数的概念和性质 189

1．常数项级数的概念和性质 189

2．收敛级数的基本性质 190

10.2 常数项级数的审敛法 191

1．正项级数及其审敛法 191

2．交错级数及其审敛法 193

3．绝对收敛与条件收敛 194

10.3 函数项幂级数 195

1．函数项级数的一般概念 195

2．一致收敛及其基本性质 196

3．幂级数及其收敛性 197

4．幂级数运算性质及和函数性质 199

5．函数展开成幂级数 200

6．傅里叶级数 202

第11章 微分方程 205

11.1 微分方程的基本概念 205

1．微分方程 205

2．微分方程的解、通解、特解 205

3．初值问题 206

11.2 一阶微分方程 206

1．一阶微分方程 206

2．一阶微分方程的解法 207

3．可降阶的高阶微分方程 210

11.3 高阶线性微分方程 211

1．n阶线性微分方程的基本概念 211

2．二阶常系数线性微分方程 212

3．常系数线性微分方程组的解法举例 216

第二篇 线性代数 221

第12章 行列式 221

12.1 n阶行列式 221

1．排列与逆序 221

2．n阶行列式 222

3．行列式的性质 222

12.2 行列式按行（列）展开 224

1．余子式、k阶子式 224

2．行列式按行（列）展开 225

12.3 几个特殊行列式与行列式的主要计算方法 226

1．几个特殊行列式 226

2．行列式的主要计算方法 229

12.4 克莱姆（Cramer）法则 229

第13章 矩阵 231

13.1 矩阵的概念 231

1．矩阵定义 231

2．几个特殊矩阵 232

13.2 矩阵的运算 234

1．矩阵的线性运算 234

2．矩阵乘法 235

3．矩阵乘幂 235

4．矩阵转置 236

5．方阵的行列式 237

6．共轭矩阵 237

13.3 逆矩阵 238

1．逆矩阵 238

2．逆矩阵、伴随矩阵性质 239

3．求逆矩阵的方法 240

4．逆矩阵的应用 241

13.4 分块矩阵 241

1．定义 241

2．分块矩阵的运算 243

13.5 初等变换与初等矩阵 245

1．初等变换 245

2．初等矩阵 247

13.6 矩阵的秩 249

1．矩阵秩的概念 249

2．矩阵秩的性质 249

3．求矩阵秩的方法 250

第14章 向量与向量空间 251

14.1 向量的概念与运算 251

1．向量的概念 251

2．向量的线性运算 252

14.2 向量组的线性相关性 252

1．概念 252

2．重要结论 253

14.3 向量组的极大线性无关组与向量组的秩 255

1．定义 255

2．重要结论 256

3．向量组的秩和极大无关组的求解方法 256

14.4 向量空间 257

1．向量空间 257

2．欧氏空间 259

3．正交基与标准正交基 260

4．正交矩阵与性质 261

第15章 线性方程组 263

15.1 齐次线性方程组 263

1．齐次线性方程组的表示形式 263

2．Am×nx=0解的判定 264

3．Am×nx=0解的性质与结构 264

4．求解方法 265

15.2 非齐次线性方程组 267

1．非齐次线性方程组的表示形式 267

2．Am×nx=b解的判定 268

3．Am×nx=b解的性质与结构 268

4．求解方法 268

第16章 相似矩阵 270

16.1 方阵的特征值与特征向量 270

1．概念 270

2．重要性质 271

16.2 相似矩阵 272

1．相似、合同、对角化 272

2．重要性质 273

3．n阶方阵A可对角化的条件 273

4．n阶方阵A对角化的方法 274

5．n阶实对称矩阵A对角化的方法 274

6．矩阵高次幂的求法 275

第17章 二次型 276

17.1 基本概念 276

1．二次型及其矩阵 276

2．线性变换、矩阵合同 277

17.2 化二次型为标准形的方法 278

1．主要结论 278

2．实二次型化为标准形的方法 279

17.3 正定二次型 280

1．惯性定理 280

2．正定二次型 281

第18章 线性空间与线性变换 284

18.1 线性空间的概念与性质 284

1．线性空间的概念 284

2．线性子空间的概念 286

18.2 基、维数与坐标 286

1．线性空间中元素的线性相关性 286

2．基与维数 287

3．坐标 287

4．基变换与坐标变换 288

18.3 线性变换 289

1．线性变换的定义与性质 289

2．线性变换的矩阵表示 291

18.4 线性变换的特征值与特征向量 292

1．定义 292

2．性质 292

第三篇 概率论与数理统计第19章 概率论的基本概念 295

19.1 随机试验 295

1．随机现象 295

2．随机试验 295

19.2 样本空间与随机事件 296

1．样本空间与随机事件的概念 296

2．事件之间的关系与运算 297

3．事件的运算律 299

19.3 频率与概率 299

1．频率的概念及稳定性 299

2．概率的概念及性质 300

19.4 等可能概型（古典概型） 302

1．古典概型的特点 302

2．古典概型中事件A的概率计算公式 302

19.5 条件概率 302

1．条件概率的定义 302

2．乘法原理 303

3．全概率公式与贝叶斯公式 303

19.6 事件的独立性 304

1．两个事件的独立性 304

2．多个事件的独立性 305

第20章 随机变量及其分布 307

20.1 随机变量 307

20.2 离散型随机变量及其分布律 308

1．离散型随机变量及其分布律的概念 308

2．几个重要的离散型随机变量及其分布律 308

20.3 随机变量的分布函数 311

1．随机变量的分布函数 311

2．随机变量的取值落在各区间内概率的分布函数表示 312

3．离散型随机变量的分布函数与分布律的关系 312

20.4 连续型随机变量及其概率密度 313

1．连续型随机变量及其概率密度 313

2．几种重要的连续型随机变量 314

20.5 随机变量函数的分布 317

1．离散型随机变量函数的分布 317

2．连续型随机变量函数的分布 318

第21章 多维随机变量及其分布 319

21.1 二维随机变量 319

1．二维随机变量及其分布函数 319

2．二维离散型随机变量及其分布律 320

3．二维连续型随机变量及其分布密度 321

21.2 边缘分布 323

1．边缘分布函数 323

2．离散型二维随机变量的边缘分布律 323

3．连续型二维随机变量的边缘概率密度 324

21.3 条件分布 324

1．二维离散型随机变量的条件分布律 324

2．二维连续型随机变量的条件概率密度函数 325

21.4 随机变量的独立性 326

1．二维随机变量的独立性 326

2．多维随机变量的独立性 327

21.5 两个随机变量函数的分布 328

1．二维离散型随机变量函数的分布 328

2．二维连续型随机变量函数的分布 329

第22章 随机变量的数字特征 332

22.1 数学期望 332

1．数学期望 332

2．随机变量函数的数学期望 333

3．数学期望的性质 334

22.2 随机变量的方差 335

1．方差的定义 335

2．方差的性质 335

3．切比雪夫不等式 336

22.3 几种重要随机变量的数学期望和方差 336

22.4 协方差及相关系数 338

1．协方差 338

2．相关系数 338

22.5 矩、协方差矩阵 339

1．随机变量矩的定义 339

2．协方差矩阵与多维正态分布 339

第23章 大数定律及中心极限定理 342

23.1 大数定律 342

1．大数定律的定义 342

2．几个重要的大数定律 342

3．随机变量序列依概率收敛 343

23.2 中心极限定理 343

1．独立同分布的中心极限定理 343

2．李雅普诺夫（Liapunov）定理 344

3．德莫佛-拉普拉斯（DeMoivre-Laplace）定理 345

第24章 样本及抽样分布 346

24.1 随机样本 346

1．总体与个体 346

2．样本 346

3．简单随机样本 347

24.2 统计量及抽样分布 347

1．统计量与抽样分布 347

2．分位点 349

3．来自正态总体的几个重要统计量的分布 349

4．来自正态总体的样本均值和样本方差的分布 353

第25章 参数估计 355

25.1 点估计 355

1．点估计的定义 355

2．矩法估计 355

3．极大似然估计 356

25.2 点估计的评判标准 357

1．无偏性 357

2．有效性 358

3．一致性（相合性） 358

25.3 区间估计 358

1．区间估计的定义 358

2．置信区间的一般求法 359

25.4 正态总体均值和方差的区间估计 359

1．单个总体N（μ,σ2）的情形 359

2．两个总体N（μ1,σ？），N（μ2,σ？）的情形 360

25.5 （0-1）分布参数p的区间估计 362

25.6 单侧置信区间 363

第26章 假设检验 365

26.1 假设检验的概念 365

1．基本思想 365

2．两类错误及其概率 366

3．参数假设检验的实现步骤 366

26.2 正态总体均值的假设检验 367

1．单个正态总体N（μ,σ2）均值μ的检验 367

2．两个正态总体N（μ1,σ？）和N（μ2,σ？）均值差μ1-μ2的检验 368

3．基于成对数据的假设检验（T检验） 370

26.3 正态总体方差的假设检验 370

1．单个正态总体N（μ,σ2）方差σ2的检验（x2检验） 370

2．两个正态总体N（μ1,σ？）和N（μ2,σ？）方差比的检验（F检验） 371

26.4 分布拟合检验（x2检验） 372

1．x2检验 372

2．x2检验法的基本思想 372

附录1 标准正态分布表 374

附录2 泊松分布表 376

附录3 t分布表 379

附录4 x2分布表 382

附录5 F分布表 387