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高等数学篇 1

第1章 函数、极限和连续 1

题型1 函数的定义域的求解 1

题型2 函数值域的求解 2

题型3 求复合函数的表达式 2

题型4 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性等函数性质的判别或证明 4

题型5 函数极限尤其是双侧极限存在的判定或求解 6

题型6 数列敛散性的判定和证明 7

题型7 求数列的极限 8

题型8 求数列的n项和或积的极限 9

题型9 极限式中含有a+？或？+？形式的极限 11

题型10 求0/0型极限 12

题型11 求∞/∞型极限 13

题型12 求∞-∞型极限 14

题型13 求0·∞型极限 14

题型14 求1∞型极限 15

题型15 求00型极限，∞0型极限 16

题型16 极限式中常数值的确定 17

题型17 已知一个极限，求另一个极限 18

题型18 无穷小的比较或根据无穷小的比较结果反求常数或确定无穷小的阶 19

题型19 讨论函数的连续性或已知函数的连续性反求常数 20

题型20 函数间断点的判别或求解 22

参考答案 23

第2章 一元函数微分学 30

题型1 与导数或微分定义相关的命题 30

题型2 抽象函数、分段函数或含绝对值符号的函数在一点是否可导的判定或求解 31

题型3 求一元复合函数的导数或微分 33

题型4 求一元隐函数的导数或微分 35

题型5 求一元参数方程所确定的函数的导数或微分 36

题型6 求函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的函数的导数或微分 37

题型7 求函数的n阶导数 38

题型8 求函数的泰勒公式或麦克劳林公式或系数 39

参考答案 40

第3章 一元函数积分学 44

题型1 已知函数或其导数的表达式求函数的原函数或已知不定积分求函数表达式 44

题型2 求有理函数的不定积分 45

题型3 求含根式的不定积分 47

题型4 求三角有理式的不定积分 49

题型5 求含有反三角函数、对数函数或指数函数的不定积分 50

题型6 求抽象函数的不定积分 51

题型7 求简单的定积分 52

题型8 求变限积分的导数 53

题型9 求分段函数或含绝对值符号的变限积分或定积分 54

题型10 求广义积分 56

参考答案 57

第4章 中值定理 62

题型1 至少存在一点，使某个等式或不等式成立的证明 62

题型2 至少存在一点ξ，使f(n)（ξ）=0成立的证明 63

题型3 至少存在一点ξ，使f(n)（ξ）=k（k≠0）成立的证明 64

题型4 至少存在两个不同的点，使某个式子成立的证明 66

参考答案 67

第5章 多元函数微分学 70

题型1 考查二元函数极限、连续、偏导、可微的题型 70

题型2 求多元复合函数的偏导数 71

题型3 求多元隐函数的偏导数 72

题型4 求函数的全微分或逆问题 73

题型5 求函数的梯度或方向导数 74

参考答案 75

第6章 向量代数与空间解析几何 78

题型1 向量的数乘、数积、叉积、混合积及向量之间的关系等运算 78

题型2 求直线方程 80

题型3 求平面方程 81

题型4 求两直线、两平面或直线与平面的夹角及位置关系 83

题型5 求空间曲线在坐标面的投影曲线方程 85

题型6 求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程或母线平行于坐标轴的柱面方程 86

参考答案 87

第7章 重积分 90

题型1 被积分域为矩形、三角形或任意形的二重积分的计算 90

题型2 被积分域为圆域、环域、扇域、环扇域且被积函数形如f(x2+y2),f(x/y),f（y/x）的二重积分的计算 92

题型3 交换二重积分的积分次序或化积分为累次积分 93

题型4 积分域为长方体、四面体或任意形体的三重积分的计算 94

题型5 积分域为柱体或由柱面、椎面、旋转抛物面与其他曲面所围成的形体的三重积分的计算 94

题型6 积分域为球体或球体的一部分或锥体的三重积分的计算 95

题型7 对称区间上的重积分的比较或判定 97

参考答案 97

第8章 无穷级数 101

题型1 无穷级数敛散性的判定 101

题型2 求幂级数的收敛区间或收敛半径 103

题型3 求函数的幂级数展开 105

题型4 有关无穷级数敛散性的证明 106

题型5 求无穷级数的和 108

题型6 求函数的傅里叶级数在某点的收敛值 110

题型7 求函数的傅里叶级数展开式或傅里叶系数或根据傅里叶级数求某无穷级数的和 111

参考答案 114

第9章 常微分方程 118

题型1 求一阶可分离变量方程、齐次方程或可化为齐次型的方程的通解或特解 118

题型2 求一阶线性微分方程的通解或特解 120

题型3 求伯努利方程的通解或特解 121

题型4 求可降阶的二阶微分方程的通解或特解 122

题型5 求二阶线性齐次或非齐次微分方程的通解或特解 123

题型6 求三阶或以上的齐次或非齐次微分方程的通解或特解 124

题型7 求全微分方程的通解或特解 125

题型8 求欧拉方程的通解或特解 126

题型9 已知方程的特解或通解反求微分方程 126

参考答案 127

第10章 曲线积分与曲面积分 131

题型1 求对弧长的曲线积分 131

题型2 求对坐标的曲线积分 132

题型3 求对面积的曲面积分 135

题型4 求对坐标的曲面积分 135

题型5 求向量场的散度或旋度 137

参考答案 138

第11章 函数方程与不等式证明 141

题型1 根据函数方程式求函数表达式 141

题型2 已知函数方程中含有极限式，求解函数表达式 141

题型3 已知函数在一点的导数及函数方程，求解函数表达式 142

题型4 已知函数方程中含有变上限积分，求函数表达式 143

题型5 已知函数连续，且函数式中含函数的定积分、极限或二重积分，求函数表达式 144

题型6 已知函数方程中含有偏导数条件或曲线积分与路径无关，求函数表达式 145

题型7 存在一个点ξ∈（a,b）使得不等式成立或不等式通过变形，一端可写成f(b)-f(a)/b-a或f(b)-f(a)/g(b)-g(a)的命题的证明 147

题型8 在某一区间（a,b）不等式命题成立的证明 148

题型9 函数f（x）二阶和二阶以上可导的不等式命题的证明 150

题型10 积分不等式的证明 151

题型11 杂例 153

参考答案 153

线性代数篇 161

第1章 行列式 161

题型1 抽象行列式的计算或判定 161

题型2 低阶行列式的计算 163

题型3 n阶行列式的计算 165

参考答案 170

第2章 矩阵 175

题型1 与矩阵的乘积等运算相关的命题 175

题型2 与初等变换或初等矩阵相关的命题 176

题型3 矩阵秩的运算或已知矩阵的秩反求矩阵中的参数 178

题型4 有关矩阵可逆的证明 180

题型5 求矩阵的逆或已知矩阵的逆反求参数 181

题型6 有关伴随矩阵判定或证明 184

题型7 解矩阵方程 184

参考答案 186

第3章 向量 189

题型1 求向量在一组基下的坐标或过渡矩阵 189

题型2 求向量组的秩或极大线性无关组或根据向量组的秩求向量中的参数 189

题型3 向量组的线性相关性的判定或证明或根据线性相关性求参数 191

题型4 向量组的线性表出的命题的判定或讨论 196

参考答案 197

第4章 线性方程组 200

题型1 与解的性质、判定和结构相关的命题 200

题型2 有关基础解系的证明或判定 203

题型3 求不含参数的线性方程组的通解 205

题型4 含参数的线性方程组的解的讨论 206

题型5 抽象方程组的通解 209

题型6 有关两个方程组的公共解的求解或证明 210

参考答案 212

第5章 特征值与特征向量 218

题型1 求数值矩阵的特征值和特征向量 218

题型2 求抽象矩阵的特征值和特征向量 220

题型3 已知含参数和矩阵的特征值和特征向量，反求矩阵或矩阵中的参数或未知特征值等问题 221

题型4 有关矩阵相似或对角化的命题 224

题型5 已知矩阵的特征值求行列式 227

题型6 有关特征值和特征向量的证明题 228

参考答案 230

第6章 二次型 235

题型1 有关二次型所对应的矩阵、秩、正负惯性指数等命题 235

题型2 将二次型化为标准形或已知标准形反求参数 236

题型3 有关二次型正定或正定矩阵的讨论或证明 238

题型4 与矩阵合同或规范形相关的命题 239

参考答案 240

概率论与数理统计篇 243

第1章 随机事件和概率 243

题型1 有关事件关系和运算的命题 243

题型2 求古典型概率 245

题型3 求几何型概率 246

题型4 有关条件概率和积事件概率的计算 247

题型5 有关全概率公式和贝叶斯公式的计算 248

参考答案 249

第2章 随机变量及其分布 252

题型1 与一维随机变量概念、性质有关的命题 252

题型2 求一维随机变量的分布函数、分布律或分布密度 255

题型3 已知一维随机变量的分布，求满足一定条件的概率或已知概率求参数 256

题型4 求一维随机变量函数的分布及分布律或分布密度 257

参考答案 258

第3章 二维随机变量及其分布 261

题型1 与二维随机变量概念、性质有关的命题 261

题型2 求二维随机变量的各种分布及独立性的讨论 262

题型3 求两个随机变量简单函数的分布 268

参考答案 270

第4章 随机变量的数字特征 274

题型1 求一维随机变量的数字特征或逆问题 274

题型2 求一维随机变量函数的数学期望 277

题型3 求二维随机变量的数字特征及独立性的讨论 278

题型4 求二维随机变量函数的数字特征 282

参考答案 284

第5章 大数定律和中心极限定理 287

题型1 根据切比雪夫不等式估计概率 287

题型2 与中心极限定理有关的命题 288

题型3 与大数定律有关的命题 289

参考答案 290

第6章 数理统计的基本概念 292

题型1 统计量的分布的求解或判定或已知分布反求统计量 292

题型2 求统计量的数字特征 294

题型3 求统计量取值的概率或样本的容量 295

参考答案 296

第7章 参数估计与假设检验 298

题型1 求矩估计量、矩估计值或最大似然估计量、估计值 298

题型2 评价估计的优劣（无偏性、有效性、一致性等） 300

题型3 有关区间估计或置信区间的命题 301

题型4 正态总体的均值和方差的假设检验 304

题型5 有关两类错误的命题 305

参考答案 306

应用题篇 309

第1章 几何应用题 309

题型1 一元函数的极值问题 309

题型2 一元函数的最值问题 310

题型3 函数的拐点或凹凸区间的判断或求解 312

题型4 函数的渐近线的判定或求解 313

题型5 方程根的讨论或证明 315

题型6 关于函数图形的命题 316

题型7 求平面曲线的切线和法线方程或逆问题 318

题型8 求平面曲线的曲率和曲率半径相关的应用题 319

题型9 求平面图形的面积或函数的平均值 319

题型10 求已知平行截面面积的空间立体的体积 321

题型11 求平面图形绕坐标轴旋转的旋转体的体积或面积 322

题型12 求曲线的弧长 325

题型13 求空间曲面的切平面和法线方程 326

题型14 求空间曲线的切线或法平面方程 327

题型15 多元函数的极值与最值问题 328

题型16 求曲面的面积 330

参考答案 331

第2章 物理应用题 339

题型1 变力作功问题 339

题型2 压力与引力问题 340

题型3 函数变化率与速度问题 342

题型4 质量、重心、质心、转动惯量问题 345

参考答案 347