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1 矩阵 1

1.1 矩阵的概念 1

1.1.1 矩阵的概念 1

1.1.2 几种特殊的矩阵 2

1.1.3 矩阵的相等 3

1.2 矩阵的运算 4

1.2.1 矩阵的加法 4

1.2.2 数与矩阵相乘 4

1.2.3 矩阵的乘法 5

1.2.4 矩阵的幂 8

1.2.5 矩阵的转置 8

1.3 矩阵的分块 10

1.3.1 分块矩阵的概念 10

1.3.2 分块矩阵的运算 12

1.4 矩阵的初等变换 14

1.4.1 初等变换 14

1.4.2 初等矩阵 17

习题1 18

2 方阵的行列式及可逆性 20

2.1 方阵的行列式 20

2.1.1 行列式的定义 20

2.1.2 行列式的性质 22

2.1.3 行列式的计算 25

2.2 克拉默（Cramer）法则 29

2.3 可逆矩阵 32

2.3.1 可逆矩阵的概念 32

2.3.2 可逆矩阵的性质 33

2.3.3 矩阵可逆的条件 34

2.3.4 求逆矩阵的方法 35

2.4 简单的矩阵方程 38

2.4.1 简单的矩阵方程 38

2.4.2 克拉默法则的证明 40

习题2 41

3 向量 45

3.1 n维向量 45

3.1.1 n维向量的概念 45

3.1.2 向量的运算 45

3.2 向量的相关性 46

3.2.1 向量的线性表示 46

3.2.2 向量组的线性相关性 48

3.2.3 向量组线性相关性的几个定理 49

3.3 矩阵与向量组的秩 52

3.3.1 矩阵的秩 52

3.3.2 向量组的秩 55

3.3.3 向量组的秩与极大无关组的求法 55

3.4 向量的内积、正交化 57

3.4.1 向量的内积 57

3.4.2 向量的长度 58

3.4.3 正交向量组 59

3.4.4 施密特（Schimidt）标准正交化 61

习题3 62

4 线性方程组 65

4.1 线性方程组概述 65

4.1.1 线性方程组概述 65

4.1.2 线性方程组解向量的性质 65

4.2 齐次线性方程组 67

4.2.1 齐次线性方程组 67

4.2.2 齐次线性方程组解的结构 69

4.3 非齐次线性方程组 71

4.3.1 非齐次线性方程组 71

4.3.2 非齐次线性方程组解的结构 75

习题4 77

5 矩阵的对角化及二次型 80

5.1 特征值与特征向量的概念与计算 80

5.2 特征值与特征向量的性质 82

5.3 矩阵的对角化 84

5.3.1 相似矩阵及其性质 84

5.3.2 矩阵可相似对角化的条件 86

5.3.3 实对称矩阵的对角化 89

5.4 二次型及其标准化 91

5.4.1 二次型 91

5.4.2 二次型的标准化 92

5.5 二次型的类型 95

习题5 98

6 线性规划问题 100

6.1 线性规划问题的数学模型 100

6.1.1 线性规划模型举例 100

6.1.2 线性规划问题的数学模型 101

6.2 线性规划问题的几何解释 104

6.2.1 线性规划问题的图解法 104

6.2.2 线性规划问题的解 106

6.2.3 线性规划问题解的几何意义 107

6.2.4 线性规划问题解的基本定理 107

6.3 线性规划的解法——单纯形方法 108

6.3.1 最优基可行解的求法 108

6.3.2 单纯形法的表格形式 116

习题6 120

附录1 基于Matlab的数学实验 123

附录2 习题答案 140

参考文献 148