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第1章数学模型—定解问题 1

偏微分方程的一般概念 1

基本概念 1

线性算子 3

叠加原理 5

三类典型方程的建立 6

弦振动方程 7

热传导方程 10

拉普拉斯（Laplace）方程 13

定解条件与定解问题 14

热传导方程的定解条件与定解问题 14

波动方程的定解条件与定解问题 16

拉普拉斯方程和泊松方程的定解条件和定解问题 18

习题1 19

第2章 分离变量法 22

有界弦的自由振动 22

有界杆的热传导方程 28

二维拉普拉斯方程的分离变量法 32

长方形域的拉普拉斯方程 32

圆形域的拉普拉斯方程 33

非齐次方程的定解问题 36

两端固定的弦的强迫振动定解问题 37

有界杆有热源的热传导方程定解问题 38

泊松方程的边值问题 40

非齐次边界条件的齐次化 43

习题2 46

第3章 特征值问题 50

施图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）问题 50

施图姆-刘维尔问题的几个重要性质 55

二阶线性常微分方程的级数解法 60

常点邻域的级数解法 60

正则奇点邻域的级数解法 61

习题3 64

第4章 贝塞尔函数 66

贝塞尔方程的引出 66

贝塞尔方程的求解 68

贝塞尔函数的递推公式 71

函数展成贝塞尔函数系的级数 74

贝塞尔函数的零点 74

贝塞尔函数系的正交性 76

贝塞尔函数系的完备性 78

贝塞尔函数的其他类型 78

第三类贝塞尔函数 78

虚宗量的贝塞尔函数 79

开尔文函数 80

贝塞尔函数的渐近公式 81

贝塞尔函数应用举例 82

习题4 89

第5章 勒让德多项式 91

勒让德方程的引出 91

勒让德方程的求解 93

函数展成勒让德多项式系的级数 96

勒让德多项式函数系的正交性 96

函数展成勒让德多项式系的级数 98

连带的勒让德多项式 102

习题5 105

第6章 积分变换法 107

傅里叶积分和傅里叶变换 107

δ函数 115

δ函数的引入 115

δ函数的性质 116

δ函数的傅氏变换 119

拉普拉斯变换 122

正交变换法 130

习题6 137

第7章 达朗贝尔法 140

二阶线性偏微分方程的分类 140

两个自变量的二阶线性方程 140

特征方程、特征线 140

两个自变量的二阶线性方程的化简 143

含多个自变量的二阶线性方程 148

弦振动方程解的达朗贝尔公式 150

达朗贝尔公式 150

达朗贝尔公式的物理意义 152

影响区域、依赖区间和决定区域 153

三维波动方程的泊松公式 154

球对称三维波动方程的解 155

三维波动方程的泊松（Poisson）公式 155

解的物理意义 158

降维法 159

二维波动方程的泊松公式 159

泊松公式的物理意义 161

强迫振动方程 161

习题7 163

第8章 格林函数法 167

拉普拉斯方程的基本解 167

两类边值问题 167

拉普拉斯方程的基本解 169

格林公式和调和函数的性质 170

格林（Green）公式 171

调和函数的性质 173

狄利克雷问题和诺伊曼问题解的唯一性与稳定性 175

格林函数 176

格林函数 176

格林函数的性质 178

几种特殊区域上的格林函数和狄利克雷问题的解 179

球和半空间上的格林函数 179

圆和半平面的格林函数 182

用特征函数法求格林函数 183

习题8 186

第9章 算子级数法 189

柯西问题的解析解 189

求解定解问题的算子级数法 199

算子级数公式在微积分学中的应用 209

习题9 214

第10章 数学物理方程在工程技术中的应用 217

工程技术中的数学模型 217

环上分支复杂管网系统的数学模型 217

低渗透气藏非线性偏微分方程反问题的数学模型 219

输气管道的一个泄漏点的检测问题 221

一个半线性抛物型方程移动边界问题 222

应用正交变换法求解裂缝性气藏水平井压力动态模型 223

水平气井模型 224

问题Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的求解 226

不定常渗流问题的点源精确解及其应用 231

孔隙中反应物浓度数学模型的求解 237

模型的建立 237

模型的求解 237

习题答案 243

参考文献 251

附录 253