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第一章 数学物理中的偏微分方程 1

1．1 偏微分方程的一些基本概念 1

1．2 三个典型方程 5

1．3 数学物理方程的导出 6

1．4 定解条件和定解问题 16

1．5 关于定解问题的解法 26

习题一 34

第二章 分离变量法 37

2．1 有界弦的自由振动 37

2．2 圆柱体稳态温度的第一边值问题 45

2．3 回有值问题的斯图模-刘维尔理论 48

2．4 几个例子 59

2．5 非齐次情形 67

习题二 77

第三章 柱函数 82

3．1 贝塞尔方程的导出 82

3．2 贝塞尔函数 84

3．3 贝塞尔函数的性质 92

3．4 贝塞尔方程的固有值问题 103

3．5 可化为贝塞尔方程的微分方程及其他形式的贝塞尔函数 110

附录 122

第四章 球函数 127

4．1 勒让德方程的导出 127

4．2 勒让德方程的解 129

4．3 勒让德多项式的性质及母函数 132

习题三 133

4．4 勒让德方程的固有值问题 137

4．5 球函数 145

习题四 151

第五章 积分变换方法 153

5．1 用富里叶变换解题 153

5．2 用拉普拉斯变换解题 162

5．3 用积分变换方法解题的一般原理 168

习题五 176

第六章 基本解和解的积分表达式 178

6．1 函数 178

6．2 广义函数简介 186

6．3 =0型方程的基本解 195

6．4 =0型方程柯西问题的基本解 202

6．5 =0型方程柯西问题的基本解 210

6．6 场位方程的边值问题 226

习题六 248

7．1 两自变数的情况 252

第七章 方程的分类和适定性问题 252

7．2 一维波动方程初始问题的适定性 262

7．3 一维波动方程混合问题的适定性 263

7．4 调和函数的基本性质和场位方程狄氏问题的适定性 268

7．5 热传导方程混合问题的适定性 275

7．6 不适定的例子 278

习题七 280

附录 变分法 282

1 泛函的极值问题 282

2 泛函的变分和最简单情形的欧拉方程 285

3 多个函数和多个自变量的情形 291

4 泛函的条件极值问题 295

5 自然边界条件 305

习题八 308

习题答案 311