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第1章　函数与模型 1

第1.1节　函数的概念及基本性质 1

1．函数的基本概念 1

2．反函数 6

3．函数的基本性质 8

习题1.1（A） 11

习题1.1（B） 12

第1.2节　常见函数 12

1．基本初等函数 13

2．常见函数 15

3．初等函数 20

习题1.2（A） 21

习题1.2（B） 22

第1.3节　函数模型及其应用 22

1．数学模型的概念 22

2．应用范例 23

习题1.3（A） 28

第1.4节　Mathematica软件应用 29

1．Mathematica软件简介 29

2．Mathematica软件中的函数 36

3．Mathematica作二维图形 40

4．技能训练 44

第2章　极限与连续 47

第2.1节　函数的极限 47

1．引例 47

2．函数的极限 50

习题2.1（A） 58

第2.2节 函数极限的性质及运算法则 59

1．函数极限的性质 59

2．极限的运算法则 59

3．极限存在准则和两个重要极限 66

4．再谈无穷小量 72

习题2.2（A） 77

习题2.2（B） 78

第2.3节　经济管理中的例子 79

1．复利与贴现 79

2．蛛网模型 81

习题2.3（A） 84

第2.4节 函数极限的精确定义 84

习题2.4（A） 89

习题2.4（B） 89

第2.5节　函数的连续性 90

1．函数的连续性 90

2．函数的间断点 93

3．连续函数的运算性质 95

4．闭区间上连续函数的性质 97

习题2.5（A） 100

习题2.5（B） 101

第2.6节　Mathematica软件应用 101

1．讨论一元函数的极限与连续 101

2．技能训练 103

第3章　导数与微分 106

第3.1节　导数的概念 106

1．瞬时速度、切线斜率及其他变化率 106

2．导数的概念 109

3．可导性与连续性的关系 115

习题3.1（A） 116

习题3.1（B） 117

第3.2节　求导法则 118

1．基本初等函数的导数 118

2．函数和、差、积、商的求导法则 122

3．复合函数的求导法则 125

4．隐函数求导法则 128

5．参数方程的求导法则 132

习题3.2（A） 134

习题3.2（B） 135

第3.3节　微分 136

1．线性化 136

2．微分的概念 138

3．微分的运算法则 142

4．微分在近似计算中的应用 144

习题3.3（A） 146

习题3.3（B） 146

第3.4节　经济中的例子 147

1．边际 147

2．弹性 149

3．增长率 152

习题3.4（A） 152

第3.5节　Mathematica软件应用 153

1．求一元函数的导数与微分 153

2．技能训练 155

第4章 中值定理与导数的应用 158

第4.1节　中值定理 158

1．罗尔定理 158

2．拉格朗日中值定理 161

3．柯西中值定理 164

习题4.1（A） 165

习题4.1（B） 166

第4.2节　洛必达法则 166

1．0/0型未定式 167

2．∞/∞型未定式 168

3．其他类型未定式 170

习题4.2（A） 172

习题4.2（B） 172

第4.3节 泰勒公式 173

习题4.3（A） 178

习题4.3（B） 178

第4.4节　函数的单调性与极值 179

1．函数单调性的判别法 179

2．函数极值的求法 182

3．函数最值的求法 185

习题4.4（A） 186

习题4.4（B） 186

第4.5节　凹凸性与函数作图 187

1．曲线的凹凸性及拐点 188

2．来源于导数的函数图形的特征 191

3．函数作图 192

习题4.5（A） 197

习题4.5（B） 198

第4.6节　最优化问题 198

习题4.6（A） 203

习题4.6（B） 204

第4.7节　Mathematica软件应用 204

1．一元函数的极值与最值 204

2．技能训练 206

第5章　积分 208

第5.1节　定积分的概念及基本性质 208

1．距离问题和面积问题 208

2．定积分的定义 213

3．定积分的几何意义 215

4．定积分的基本性质 216

习题5.1（A） 222

习题5.1（B） 223

第5.2节　微积分基本定理 223

1．微积分第一基本定理 223

2．原函数与不定积分 226

3．微积分第二基本定理 232

习题5.2（A） 234

习题5.2（B） 235

第5.3节　基本积分法 236

1．换元积分法 236

2．分部积分法 251

3．有理函数的积分 254

习题5.3（A） 256

习题5.3（B） 257

第5.4节　定积分的近似计算 258

习题5.4（A） 261

第5.5节　反常积分 261

1．无穷限积分 262

2．瑕积分 265

习题5.5（A） 267

习题5.5（B） 268

第5.6节　Mathematica软件应用 268

1．求不定积分 268

2．定积分的计算 269

3．反常积分的计算 270

4．Γ函数的计算 271

5．技能训练 271

第6章　定积分的应用 273

第6.1节　定积分的微元法 273

第6.2节　定积分在几何学中的应用 274

1．平面图形的面积 274

2．求旋转体的体积 277

习题6.2（A） 279

习题6.2（B） 279

第6.3节　定积分在经济学和管理学中的应用 280

1．净增长问题 280

2．投资问题 281

3．社会收入分配问题 283

习题6.3（A） 284

习题6.3（B） 285

第6.4节　定积分在概率中的应用 285

第6.5节　Mathematica软件应用 288

1．积分的计算 288

2．技能训练 289

第7章 向量代数与空间解析几何 291

第7.1节　空间直角坐标系 291

1．空间直角坐标系的建立 291

2．空间内点的坐标 292

3．空间中两点间的距离 293

习题7.1（A） 294

习题7.1（B） 295

第7.2节　向量代数 295

1．向量的概念 295

2．向量的线性运算 296

3．向量的坐标 297

4．向量的数量积与向量积 300

习题7.2（A） 306

习题7.2（B） 307

第7.3节　空间中的平面和直线 307

1．平面及其方程 307

2．空间直线的方程 311

习题7.3（A） 314

习题7.3（B） 315

第7.4节　常见的曲面与空间曲线 315

1．常见的二次曲面 315

2．空间曲线 321

3．空间曲线在坐标平面上的投影 322

习题7.4（A） 323

习题7.4（B） 324

第7.5节 Mathematica软件应用 324

1．向量数量积与向量积的计算 324

2．空间中曲面的画法 325

3．空间中曲线的画法 328

4．技能训练 330

第8章　多元函数微分学 332

第8.1节　多元函数的概念 332

1．平面点集 333

2．二元函数的定义 334

3．二元函数的图形 336

习题8.1（A） 337

习题8.1（B） 337

第8.2节　二元函数的极限与连续 338

1．二元函数的极限 338

2．二元函数的连续性 340

习题8.2（A） 341

习题8.2（B） 342

第8.3节　多元函数的偏导数 342

1．偏导数的概念 343

2．复合函数的偏导数 346

3．隐函数的偏导数 349

4．高阶偏导数 351

习题8.3（A） 353

习题8.3（B） 354

第8.4节　全微分 355

1．全微分的概念 355

2．二元函数可微、偏导数存在及连续之间的关系 356

3．一阶全微分形式的不变性 359

4．全微分在近似计算中的应用 360

习题8.4（A） 361

习题8.4（B） 361

第8.5节　多元函数微分学的应用 362

1．空间曲面的切平面与法线 362

2．偏导数在弹性分析中的应用 363

3．多元函数的极值与最值 365

4．经济函数优化问题 372

5．最小二乘法 374

习题8.5（A） 377

习题8.5（B） 378

第8.6节　Mathematica软件应用 378

1．绘制二元函数的图形 379

2．求多元函数的偏导数与全微分 379

3．多元函数的极值与条件极值 381

4．技能训练 383

第9章　重积分 385

第9.1节　二重积分的概念与性质 385

1．曲顶柱体的体积 385

2．二重积分的定义 387

3．二重积分的几何意义 388

4．二重积分的性质 388

习题9.1（A） 390

习题9.1（B） 390

第9.2节　二重积分的计算 391

1．在直角坐标系下二重积分的计算 391

2．在极坐标系下二重积分的计算 397

习题9.2（A） 401

习题9.2（B） 401

第9.3节　反常二重积分与三重积分简介 402

1．反常二重积分 402

2．三重积分 405

习题9.3（A） 407

习题9.3（B） 408

第9.4节　二重积分应用 408

1．空间立体的体积 408

2．平面薄片的质量 409

习题9.4（A） 411

习题9.4（B） 411

第9.5节　Mathematica软件应用 411

1．计算二重积分、反常二重积分及三重积分 411

2．技能训练 413

第10章　无穷级数 415

第10.1节　常数项级数的概念和性质 415

1．常数项级数的概念 415

2．常数项级数的性质 418

3．级数收敛的必要条件 419

习题10.1（A） 420

习题10.1（B） 422

第10.2节　正项级数 422

1．正项级数及其收敛准则 422

2．正项级数审敛法 423

习题10.2（A） 428

习题10.2（B） 429

第10.3节　任意项级数 430

1．交错级数及其审敛法 430

2．绝对收敛与条件收敛 432

习题10.3（A） 434

习题10.3（B） 435

第10.4节　幂级数 436

1．函数项级数的基本概念 436

2．幂级数及其收敛性 437

3．幂级数的运算 441

习题10.4（A） 445

习题10.4（B） 445

第10.5节　函数展开成幂级数 446

1．泰勒级数及函数展开成幂级数的方法 446

2．幂级数的简单应用 451

习题10.5（A） 452

习题10.5（B） 452

第10.6节　Mathematica软件应用 453

1．数项级数的敛散性 453

2．求函数项级数的和函数 454

3．函数的幂级数展开式 455

4．技能训练 456

第11章　微分方程 458

第11.1节　微分方程的基本概念 458

1．引例 458

2．微分方程的基本概念 459

习题11.1（A） 461

习题11.1（B） 462

第11.2节　一阶微分方程 462

1．可分离变量方程 462

2．一阶线性微分方程 467

3．伯努利方程 470

习题11.2（A） 471

习题11.2（B） 473

第11.3节　二阶微分方程 474

1．可降阶的二阶微分方程 474

2．二阶线性微分方程 477

习题11.3（A） 485

习题11.3（B） 486

第11.4节　Mathematica软件应用 487

1．求解一阶、二阶微分方程 487

2．技能训练 488

第12章　差分方程 491

第12.1节　差分与差分方程的概念 491

1．差分的概念与性质 491

2．差分方程的基本概念 494

3．常系数线性差分方程及其解的结构 495

习题12.1（A） 497

习题12.1（B） 497

第12.2节　一阶常系数线性差分方程 498

1．一阶常系数齐次线性差分方程的通解 498

2．一阶常系数非齐次线性差分方程的通解 499

习题12.2（A） 504

习题12.2（B） 504

第12.3节　二阶常系数线性差分方程 505

1．二阶常系数齐次线性差分方程的通解 505

2．二阶常系数非齐次线性差分方程的通解 507

习题12.3（A） 509

习题12.3（B） 510

第12.4节　差分方程在经济中的应用 510

1．存贷款问题 510

2．动态经济系统的蛛网模型 512

3．价格与库存模型 514

4．国民收入的稳定性问题 515

习题12.4（A） 516

第12.5节　Mathematica软件应用 517

1．差分的计算 517

2．求解一阶常系数差分方程 518

3．技能训练 518

附录Ⅰ 常用的三角函数恒等式 520

附录Ⅱ 对数函数运算性质 521

附录Ⅲ　极坐标 522

附录Ⅳ 二阶和三阶行列式的计算 524

习题答案与提示 526

参考文献 559