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第一章 场的概念和图解 1

1 矢量代数的基本公式 1

1．矢量及其表示法 1

2．矢量的线性运算 1

3．矢量的标量积 3

4．矢量的矢量积 3

6．并矢 7

2 矢量函数的微分法 9

1．矢量函数 9

2．矢量函数的极限与连续性 10

3．矢量函数的微商 12

3 场的概念 17

1．场的概念 17

2．场的数学表示方法 17

3．场的分类 18

1．数量场的等值面（线） 19

4 场的图形表示法 19

2．矢量场的矢量线 20

3．矢量线的解析表达式 21

习题一 24

第二章 数量场的梯度 26

1 方向导数 26

1．方向导数的定义 26

2．方向导数的计算公式 28

2．梯度的性质及其另一种定义 33

2 梯度 33

1．梯度定义 33

3．梯度的几何性质及其几何作法 35

4．梯度的运算法则 37

习题二 44

第三章 矢量场的散度 46

1 流量 46

1．流场的流量 46

3．非均匀流场的流量计算 47

2．均匀流场的流量计算 47

4．流量的定义 48

2 发散量与散度 52

1．流场的发数量 52

2．发散量的定义 53

3．流场的散度 54

4．散度的定义 55

1．计算公式 56

3 散度在直角坐标系下的计算公式 56

2．散度的运算法则 60

4 奥高公式 62

1．散度是导数概念的推广 62

2．奥高公式的形式导出 63

3．奥高公式及其证明 65

4．奥高公式的物理意义 72

5．两个推论 72

2．奥高公式与分部积分法 76

1．奥高公式是微积分基本定理的推广 76

5 奥高公式应用之一 76

3．格林第一、第二公式 77

4．调和函数的积分表达式 79

5．调和函数的两个性质 83

6 奥高公式应用之二 85

1．质量守恒与连续性方程 85

2．理想流体的运动方程 89

3．静电场的基本方程 92

4．扩散方程 93

习题三 97

第四章 矢量场的旋度 99

1 旋转量（环流） 99

1．流场中旋转运动产生的条件 99

2．平面场的旋转量 100

3．旋转量和旋转运动的快慢 103

2 平面涡旋量的定义及其计算 104

1．平面场的涡旋量的定义 104

2．流场的涡旋量的直观算法 106

3．平面场涡旋量的计算公式 108

3 旋度及其计算公式 111

1．沿任意方向的涡旋量 111

2．空间矢量场的旋度 112

3．旋度在直角坐标下的表达式 113

4．旋度的运算法则 114

4 格林公式和斯托克斯公式 116

1．格林公式的形式导出 116

2．格林公式 118

3．斯托克斯公式 128

5 两个基本方程的建立 135

1．安培环路定理的微分形式 136

2．法拉弟感应定律的微分形式 136

6 格林公式的应用 138

1．变形的格林公式 138

2．二重积分的分部积分公式 139

3．格林第一、第二公式 139

4．调和函数的积分表达式 141

习题四 146

第五章 ？算符 148

1 ？算符的引进及其性质 148

1．？算符是怎样引进的 148

2．？算符的微分性质 150

3．？算符的矢量性 151

2 ？算符的运算法则 154

1．？算符的运算法 154

2．？算符的线性运算性质 158

3．？算符的复合运算法则 158

3 ？算符的基本公式 167

1．乘积公式 167

2．复合函数公式 167

3．二阶微分运算及其基本公式 168

习题五 170

2 算符在柱坐标下的表达式 172

1．？算符在柱坐标下的表达式 172

1 梯度、散度、旋度、？ 172

第六章 曲线坐标下梯度、散度、旋度的表达式 172

2．单位矢量e？,eψ,e？的“微商”公式 174

3．散度在柱坐标下的表达式 175

4．旋度在柱坐标下的表达式 177

5．？2算符在柱坐标下的表达式 178

2 梯度、散度、旋度、？2算符在球坐标下的表达式 179

1．？算符在球坐标下的表达式 179

2．单位矢量er,eθ,eψ的“微商”公式 180

3．散度在球坐标下的表达式 182

4．旋度、？2算符在球坐标下的表达式 183

3 曲线坐标下梯度、散度、旋度的表达式 188

1．参数型方程的曲面面积公式 188

2．一对一变换和曲线坐标的概念 193

3．变换是一对一的充分条件 194

4．曲线坐标的自然标架 199

5．笛卡尔坐标向一般直交坐标的过渡 202

6．曲线坐标下梯度、散度、旋度的表达式 204

习题六 214

第七章 场的分类、性质和场的方程 215

1 位场和标量势 215

1．位场和标量势的概念 215

2．按曲面是单连通区域上的矢量场的标量势 216

3．按曲面是复连通区域上的矢量场的标量势 227

4．平面矢量场的标量势 232

2 管形场和矢量势 234

1．管形场和矢量势的概念 234

2．矢量场为管形场的充要条件 236

3 调和场和调和函数 241

1．调和场和调和函数的概念 241

2．矢量场是调和场的充要条件 242

3．平面调和场的一些性质 243

4 矢量场的分类和描述场的物理量 252

1．矢量场的分类 252

2．描述场的物理量 254

习题七 256

习题答案 258