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第一章 函数的极限与连续性 1

1．1 函数 1

一、 函数概念及其几种特性 1

二、反函数 4

三、复合函数 5

四、基本初等函数、初等函数 7

五、函数关系的建立 11

习题1．1 12

1．2 函数的极限与连续 14

一、数列的极限 14

二、函数的极限 18

三、无穷小与无穷大 22

四、函数的连续性 23

五、函数的间断点 26

习题1．2 27

1．3 函数极限的性质及运算法则 27

一、函数极限的性质及运算法则 28

二、极限存在准则和两个重要极限 33

习题1．3 39

1．4 无穷小的比较 40

习题1．4 42

1．5 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质 42

一、初等函数的连续性 42

二、闭区间上连续函数的性质 44

习题1．5 46

第二章 导数与微分 47

2．1 导数的概念 47

一、变化率 47

二、导数的概念 48

三、导数的量纲 51

四、可导性与连续性的关系 52

五、可导性的图形意义 53

习题2．1 54

2．2 导数的运算法则 55

一、基本初等函数的导数 55

二、函数和、差、积、商的导数 61

三、复合函数的导数 62

四、隐函数的导数 65

五、由参数方程所确定的函数的导数 67

习题2．2 70

2．3 函数的微分 71

一、微分的概念 72

二、微分的运算与微分形式的不变性 74

三、微分在近似计算中的应用 76

习题2．3 77

第三章 中值定理与导数的应用 78

3．1 中值定理 78

一、罗尔中值定理 78

二、拉格朗日中值定理 80

三、泰勒中值定理 82

四、柯西中值定理 84

习题3．1 85

3．2 洛必达法则 86

一、0/0型未定式的极限 86

二、∞/∞型未定式的极限 89

三、其他类型未定式的极限 89

习题3．2 92

3．3 函数单调增减性及其判别法 93

习题3．3 95

3．4 函数的极值及其求法 96

一、极值的定义 96

二、极值存在的条件 96

习题3．4 99

3．5 最大值、最小值及其应用 100

习题3．5 103

3．6 曲线的凹凸性及拐点 103

一、曲线的凹凸性及拐点 103

二、曲率 105

习题 3．6 107

3．7 函数作图 107

习题 3．7 110

3．8 导数应用实例 110

一、变化率及相对变化率在经济中的应用 110

二、征税的学问 115

三、接受能力与讲授时间的关系 116

四、您的书写吊灯应该挂多高 116

五、鱼群的适度捕捞 117

习题3．8 118

第四章 积分 119

4．1 定积分概念 119

一、引例 119

二、定积分概念 121

三、定积分的几何意义和物理意义 122

四、定积分的基本性质 124

习题4．1 128

4．2 微积分基本定理 128

一、微积分第一基本定理 128

二、原函数与不定积分 130

三、微积分第二基本定理 136

习题4．2 137

4．3 基本积分法 139

一、换元积分法 139

二、分部积分法 152

三、几种特殊类型函数的积分举例 157

习题4．3 160

4．4 反常积分 163

一、无穷区间上的反常积分 163

二、有无穷间断点的反常积分 165

三、Γ函数与β函数 167

习题4．4 169

4．5 定积分的应用 170

一、定积分的微元法 170

二、定积分的几何应用 171

三、定积分的物理应用 178

四、定积分的其他应用 179

习题4．5 182

第五章 空间解析几何 184

5．1 空间直角坐标系 184

一、空间直角坐标系 184

二、空间两点间的距离 185

习题5．1 186

5．2 向量代数 186

一、向量的概念 186

二、向量的线性运算 187

三、向量的坐标表示 189

四、向量的模与方向余弦的坐标表示式 191

五、向量的标量积 192

六、向量的向量积 194

习题5．2 196

5．3 平面与空间直线 197

一、平面 197

二、空间直线 202

习题5．3 205

5．4 空间曲面与空间曲线 206

一、空间曲面 206

二、空间曲线 209

习题5．4 212

5．5 二次曲面 212

一、椭球面 213

二、抛物面 214

三、双曲面 215

四、二次锥面 216

习题5．5 216

第六章 多元函数微分法及其应用 217

6．1 多元函数的基本概念 217

一、区域 217

二、多元函数的定义 218

三、二元函数的极限与连续 220

习题6．1 225

6．2 偏导数与全微分 225

一、偏导数 225

二、全微分 230

习题6．2 234

6．3 多元复合函数与隐函数的求导法则 235

一、多元复合函数的求导法则 235

二、隐函数求导法则 241

习题6．3 244

6．4 偏导数的几何应用 245

一、空间曲线的切线与法平面 245

二、曲面的切平面与法线 246

习题6．4 248

6．5 最优化问题 249

一、极值的概念 249

二、极值存在的条件 250

三、最大值与最小值 251

四、最优化问题 252

五、最小二乘法及其应用 256

习题6．5 261

第七章 多元函数积分及其应用 263

7．1 二重积分的概念与性质 263

一、二重积分的概念 263

二、二重积分的性质 266

习题7．1 267

7．2二重积分的计算 267

一、在直角坐标系下计算二重积分 268

二、在极坐标系下计算二重积分 275

习题7．2 279

7．3 二重积分的应用 280

一、立体的体积 280

二、曲面面积 282

习题7．3 286

7．4 三重积分的概念及其计算 286

一、三重积分的概念 286

二、三重积分的计算 288

习题7．4 296

7．5 线积分 297

一、对弧长的线积分 297

二、对坐标的线积分 301

三、格林定理及其应用 308

习题7．5 312

第八章 微分方程与差分方程简介 315

8．1 微分方程的基本概念 315

一、引例 315

二、微分方程的基本概念 316

习题8．1 317

8．2 可分离变量的一阶微分方程 318

习题8．2 320

8．3 一阶线性微分方程 320

一、一阶线性齐次微分方程 320

二、一阶线性非齐次微分方程 321

三、伯努利微分方程 324

习题8．3 325

8．4 可降阶的高阶微分方程 326

一、y(n)=f(x)型的高阶微分方程 326

二、y″=f(x，y′)型的微分方程 327

三、y″=f(y，y′)型的微分方程 328

习题8．4 329

8．5 二阶常系数线性微分方程 330

一、通解的结构 330

二、二阶常系数线性齐次微分方程 331

三、二阶常系数线性非齐次微分方程 334

习题8．5 338

8．6 微分方程应用实例 338

一、嫌疑犯问题 339

二、含盐量问题 340

三、悬链线方程问题 340

习题8．6 342

8．7 差分方程简介 342

一、差分方程的基本概念 343

二、线性差分方程的基本定理 345

三、一阶线性差分方程 345

四、二阶线性差分方程 351

习题8．7 356

第九章 无穷级数 358

9．1 常数项级数的概念及性质 358

一、常数项级数的概念 358

二、无穷级数的基本性质 360

习题9．1 363

9．2 常数项级数敛散性的判别方法 364

一、正项级数及其敛散性的判别方法 364

二、交错级数及其敛散性的判别方法 370

三、绝对收敛与条件收敛 371

习题9．2 373

9．3 幂级数 374

一、函数项级数的一般概念 374

二、幂级数及其收敛区间 375

三、幂级数的运算 379

四、函数展开成幂级数 382

五、幂级数在近似计算中的应用 386

习题9．3 389

第十章 数学建模初步及应用范例 390

10．1 建立数学模型的一般步骤 390

10．2 应用范例 392

一、不允许缺货的存贮问题 392

二、交通管理问题 393

三、铅球投掷问题 395

四、传染病的传播问题 398

习题10 401

附录Ⅰ 积分表 403

附录Ⅱ Maple简介 412

习题答案 421

名词术语索引 449

参考文献 453