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第一章 实分析基础 1

1·1 集合 1

1·2 映射 4

1·3 集合的基数 6

1·4 实数的几个定理 11

1·5 闭区间上连续函数的性质 14

1·6 点集与测度 18

1·7 可测函数 25

1·8 勒贝格(Lebesgue)积分简介 30

1·9 拓扑空间简介 45

第二章 距离空间 47

2·1 距离空间的定义 47

2·2 距离空间中的极限 50

2·3 距离空间中的开集、闭集 55

2·4 稠密性与可分性 57

2·5 距离空间的完备性 60

2·6 Baire定理 64

2·7 列紧性、紧性与全有界性 67

2·8 紧集上的连续函数 72

2·9 不动点定理及其应用 74

2·10 分形空间 84

第三章 Banach空间 88

3·1 线性空间 88

3·2 赋范线性空间与Banach空间 91

3·3 有限维赋范线性空间 97

第四章 Hilbert空间 103

4·1 内积空间的基本概念 103

4·2 Hilbert空间 104

4·3 内积与范数的关系 107

4·4 正交与正交补 109

4·5 变分原理与正交分解定理 111

4·6 标准正交系 115

4·7 Hilbert空间中的Fourier分析 121

4·8 Hilbert空间的同构 131

第五章 线性算子的一般理论 134

5·1 有界性与连续性 134

5·2 线性算子的范数 136

5·3 求有界线性算子范数的实例分析 138

5·4 有限维赋范线性空间上的线性算子 143

5·5 有界线性算子空间、算子列的一致收敛与强收敛 150

5·6 开映射定理、逆算子定理、闭图像定理 154

5·7 Riesz表示定理 164

5·8 Hahn-Banach定理 166

5·9 对偶空间、自反空间 171

5·10 弱收敛 176

5·11 对偶算子 181

第六章 谱理论 184

6·1 有界线性算子的谱理论 184

6·2 紧算子 192

6·3 Fredholm算子 196

6·4 自伴算子 200

6·5 正算子 209

6·6 Hilbert-Schmidt算子 211

6·7 酉算子 217

第七章 Banach空间上的微积分 222

7·1 Banach空间上的Bochner积分 222

7·2 Banach空间上的微分 225

7·3 高阶微分与泰勒公式 235

7·4 隐函数定理与反函数定理 239

第八章 线性算子半群 245

8·1 线性算子半群的定义及其生成元 245

8·2 Hille-Yosida定理 249

8·3 紧半群、解析半群与可微半群 254

8·4 线性算子半群在微分方程中的应用 260

习题与提示 266

参考文献 301