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第一篇 函数与极限 1

第一章 函数 1

第一节 函数概念及其表示法 1

1.1 常量与变量 1

1.2 函数的定义 3

1.3 函数的记号 5

1.4 函数表示法函数的图形 6

1.5 函数的定义域区间单调数列 9

1.6 反函数及其图形 12

1.7 复合函数（函数的函数）的定义 14

1.8 函数的增减性、奇偶性及周期性 16

第二节 基本初等函数 18

1.9 基本初等函数与初等函数 18

1.10 幂函数 20

1.11 指数函数与对数函数 22

1.12 三角函数与反三角函数 23

1.13 双曲函数与反双曲函数 23

1.14 函数式子的建立 32

2.1 绝对值的重要性质 35

第一节 预备知识 35

第二章 极限 35

2.2 描述量的变化状态的术语 38

2.3 两种不同类型的极限 42

第二节 极限及其运算法则 44

2.4 数列的极限 44

2.5 函数的极限 50

2.6 函数的左极限与右极限 55

2.7 无穷小与无穷大 58

2.8 无穷小的运算有界变量 61

2.9 极限的四则运算 64

2.10 不等式取极限的准则及其应用举例（limx→0sinx/x） 66

2.11 数列的审敛准则及其应用举例［limn∞(1+1/n)n］ 68

2.12 无穷小的比与阶 72

2.13 相当无穷小与无穷小的主部 74

第三节 函数的连续性 76

2.14 函数连续的概念 76

2.15 增量与连续性检查法 77

2.16 函数的间断点 81

2.17 连续函数在闭区间的特性 84

2.18 连续函数的反函数 87

2.19 连续函数的运算与初等函数的连续性 88

第二篇 一元函数微分学 91

第三章 导数及其应用 91

第一节 导数的定义与△求法 91

3.1 函数的变化率问题与导数定义 91

3.2 导数的△求法 96

3.3 导数的几何意义及其应用 98

3.4 导数在物理及化学方面的意义 100

3.5 可导性与连续性的关系 102

3.6 引言求导公式表 105

第二节 求导的基本公式 105

3.7 代数式的求导公式 106

3.8 代数函数求导举例 111

3.9 三角函数的求导公式 116

3.10 反三角函数及反函数的求导公式 119

3.11 对数函数的求导公式对数求导法及其应用 124

3.12 指数函数的求导公式 128

3.13 双曲函数的求导公式 130

3.14 隐函数及其求导法 131

第三节 中值定理与函数性态研究 132

3.15 充要条件 133

3.16 洛尔定理 134

3.17 拉格朗日定理 136

3.18 函数增减性的判定法 139

3.19 函数的极值及其求法 141

3.20 函数在区间上的最大值与最小值 146

3.21 高阶导数 148

3.22 极值的第二判定法 153

3.23 函数图形的凹向与拐点 154

3.24 柯西定理 158

3.25 未定式求极限法则（罗彼塔法则） 159

3.26 函数作图 166

第四章 微分及其应用 171

第一节 微分概念 171

4.1 微分的定义 171

4.2 微分与导数的关系求微分公式 175

4.3 微分的几何解释 179

4.4 微分形式的不变性 179

4.5 高阶微分及其与导数记号的关系 181

第二节 微分在近似计算上的应用 182

4.6近似计算概念的简单介绍 182

4.7用微分求近似值 187

4.8利用微分估计误差 189

第三节 微分的几何应用 194

4.9 参量方程的曲线的斜率及凹向 194

4.10 弧长的微分 196

4.11 曲率的定义 197

4.12 计算曲率的公式 198

4.13 曲率圆曲率半径曲率中心 201

第五章 台劳公式与方程近似解法 203

第一节 台劳公式 203

5.1多项式的台劳公式 204

5.2任何函数的台劳公式 205

5.3函数值的近似计算与误差估计 208

第二节 方程的近似解 210

5.4 实根判定法 211

5.5 求近似解的弦位法及切线法 214

5.6 举例 219

第三篇 一元函数积分学 223

第六章 不定积分 223

第一节 不定积分的定义及求法 223

6.1 原函数的概念 223

6.2 不定积分的定义及性质基本积分表 225

6.3 积分形式不变性 229

6.4 积分的基本方法 232

第二节 积分常量 243

6.5 由初始条件决定积分常量微分方程 243

6.6 在几何问题中的积分常量 245

6.7 在物理问题中的积分常量 246

第三节 初等函数积分法讨论 248

6.8 引言 248

6.9 有理函数的积分 249

6.10 三角函数有理式的积分 257

6.11 无理函数的积分 259

6.12 积分表的用法 264

第七章 定积分及其应用 266

第一节 定积分的概念与基本性质 266

7.1 由于求面积而引起求和的极限 266

7.2 求和的极限法不限于求面积 271

7.3 定积分的定义及存在定理 274

7.4 定积分的几何意义 277

7.5 定积分的简单性质 278

7.6 定积分与不定积分的关系 283

7.7 换元法则与奇偶函数的积分公式 287

第二节 定积分计算法则 287

7.8 分部积分法则 291

第三节 定积分的应用 292

7.9 如何列写定积分的积分式 293

7.10 元素相加法与微分方程法 296

7.11 杜阿迈定理 300

7.12 平面图形的面积 300

7.13 平面曲线的弧长 309

7.14 利用平行截面积计算体积法 312

7.15 连续函数在区间上的平均值 314

7.16 曲线重心与古尔琴第一定理 317

7.17 曲边梯形重心与古尔琴第二定理 321

7.18 液体的静压力 324

7.19 从容器中抽出液体所做的功 326

第四节 近似积分法 328

7.20 数值积分法 328

7.21 图解积分法 335

第一节 一般概念 337

8.1 什么是微分方程 337

第八章 微分方程的产生与一般概念 337

第四篇 常微分方程 337

8.2 微分方程的解与阶通解初始条件特解 340

第二节 微分方程的产生 344

8.3 由已知函数产生微分方程 345

8.4 由于求未知函数而产生微分方程 347

第九章 微分方程的解法 362

第一节 一阶与可降阶的高阶方程 362

9.1 变量可分离的方程 362

9.2 齐次方程 364

9.3 全微分方程积分因子 366

9.4 线性方程与伯努利方程 369

9.5 轨线问题 373

9.6 可降阶的高阶方程 377

第二节 高阶线性微分方程 384

9.7 齐次方程 385

9.8 非齐次方程 396

9.9 求特积分的待定系数法 398

9.10 参量变值法 415

9.11 尤拉方程 419

9.12 机械振动与电磁振荡的微分方程 420

9.13 自有振动的研究 426

9.14 受迫振动的研究共振因子 428