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第一章 引论 1

1 数值分析的研究对象 1

2 数值计算的误差 2

2.1 误差的来源与分类 2

2.2 绝对误差和相对误差、有效数字 3

2.3 求函数值和算术运算的误差估计 4

2.4 计算机的浮点数表示和舍入误差 5

3 病态问题、数值稳定性与避免误差危害 8

3.1 病态问题与条件数 8

3.2 数值方法的稳定性 9

3.3 避免误差危害 11

4 线性代数的一些基本概念 13

4.1 矩阵的特征值问题、相似变换化标准形 13

4.2 线性空间和内积空间 15

4.3 范数、线性赋范空间 19

5 几种常见矩阵的性质 26

5.1 正交矩阵和酉矩阵 26

5.2 对称矩阵和对称正定矩阵 27

5.3 初等矩阵 27

5.4 可约矩阵 29

5.5 对角占优矩阵 31

习题 32

第二章 线性代数方程组的直接解法 35

1 Gauss消去法 35

1.1 顺序消去与回代过程 36

1.2 顺序消去能够实现的条件 40

1.3 矩阵的三角分解 41

2 选主元素的消去法 42

2.1 有换行步骤的消去法 42

2.2 矩阵三角分解定理的推广 43

2.3 选主元素的消去法 44

3 直接三角分解方法 47

3.1 Doolittle分解方法 47

3.2 对称矩阵的三角分解、Cholesky方法 49

3.3 带状矩阵方程组的直接方法 52

4 矩阵的条件数、直接方法的误差分析 59

4.1 扰动方程组与矩阵的条件数 59

4.2 病态方程组的解法 64

4.3 列主元素消去法的舍入误差分析 65

习题 66

计算实习题 69

第三章 线性代数方程组的迭代解法 71

1 迭代法的基本概念 71

1.1 向量序列和矩阵序列的极限 71

1.2 迭代公式的构造 74

1.3 迭代法收敛性分析 76

2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 79

2.1 Jacobi迭代法 80

2.2 Gauss-Seidel迭代法 80

2.3 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性 80

3 超松弛迭代法 83

3.1 逐次超松弛迭代公式 83

3.2 SOR迭代法的收敛性 85

3.3 最优松弛因子 86

3.4 对称超松弛迭代法 88

4 共轭梯度法 89

4.1 与方程组等价的变分问题 89

4.2 最速下降法 90

4.3 共轭梯度法 91

4.4 预处理共轭梯度方法 95

习题 97

计算实习题 100

第四章 非线性方程和方程组的数值解法 101

1 区间对分法 101

2 单个方程的不动点迭代法 103

2.1 不动点和不动点迭代法 103

2.2 迭代法在区间［a,b］的收敛性 105

2.3 局部收敛性与收敛阶 107

3 迭代加速收敛的方法 109

3.1 Aitken加速方法 109

3.2 Steffensen迭代法 110

4 Newton迭代法和割线法 112

4.1 Newton迭代法的计算公式 112

4.2 局部收敛性和全局收敛性 113

4.3 重根情形 115

4.4 割线法 116

5 非线性方程组的不动点迭代法 118

5.1 向量值函数的连续性和导数 119

5.2 压缩映射和不动点迭代法 122

6 非线性方程组的Newton法和拟Newton法 126

6.1 Newton法 126

6.2 拟Newton法 128

习题 132

计算实习题 134

第五章 矩阵特征值问题的数值方法 136

1 特征值的估计和扰动 136

1.1 特征值的估计 136

1.2 特征值的扰动 139

2 正交变换和矩阵因式分解 140

2.1 Householder变换 141

2.2 Givens变换 143

2.3 矩阵的QR因式分解 144

2.4 矩阵的Schur因式分解 149

3 幂迭代法和逆幂迭代法 150

3.1 幂迭代法 150

3.2 加速技术 152

3.3 逆幂迭代法 153

3.4 收缩方法 155

4 QR方法 156

4.1 基本QR迭代 156

4.2 正交相似变换化矩阵为上Hessenberg形式 160

4.3 Hessenberg矩阵的QR方法 164

4.4 带有原点位移的QR方法 164

4.5 双重步QR方法 167

5 对称矩阵特征值问题的计算 171

5.1 对称矩阵特征值问题的性质 171

5.2 Rayleigh商迭代 172

5.3 Jacobi方法 173

5.4 对称矩阵的QR方法 178

习题 180

计算实习题 181

第六章 插值法 183

1 Lagrange插值 183

1.1 Lagrange插值多项式 183

1.2 插值余项及其估计 185

1.3 线性插值和二次插值 188

1.4 关于插值多项式的收敛性问题 190

2 均差与Newton插值多项式 191

2.1 均差及其性质 191

2.2 Newton插值多项式 194

2.3 差分及其性质 197

2.4 等距节点的Newton插值公式 198

3 Hermite插值 201

3.1 Hermite插值多项式 201

3.2 重节点均差 204

3.3 Newton形式的Hermite插值多项式 207

3.4 一般密切插值（Hermite插值） 209

4 三次样条插值 210

4.1 分段线性插值及分段三次Hermite插值 210

4.2 三次样条插值函数 211

4.3 三次样条插值函数的计算方法 212

4.4 数值例子 215

5 三次样条插值函数的性质与误差估计 216

5.1 基本性质 216

5.2 三次样条插值函数的误差估计 217

6 B－样条函数 221

6.1 三次样条函数空间 221

6.2 三次B－样条函数 222

习题 226

计算实习题 228

第七章 函数逼近 229

1 正交多项式 229

1.1 正交多项式的基本概念及性质 229

1.2 Legendre多项式 234

1.3 Laguerre多项式 236

1.4 Hermite多项式 237

2 Chebyshev多项式 237

2.1 Chebyshev多项式基本性质 238

2.2 极小化性质与Chebyshev多项式零点插值 240

3 函数的最佳平方逼近 244

3.1 最佳平方逼近的概念及计算 244

3.2 用正交函数组作最佳平方逼近 247

3.3 用Legendre多项式作最佳平方逼近 250

4 Padé逼近 251

4.1 Padé逼近 252

4.2 连分式 256

5 数据拟合 256

5.1 最小二乘曲线拟合及其计算 257

5.2 多项式拟合 259

5.3 线性化方法 261

5.4 用正交多项式作最小二乘曲线拟合 264

5.5 非多项式拟合 266

6 线性最小二乘问题的解法 268

6.1 线性最小二乘问题 268

6.2 QR分解 270

6.3 用QR分解求解线性最小二乘问题 272

7 周期函数的最佳平方逼近 273

7.1 周期函数的最佳平方逼近 273

7.2 离散情形 275

7.3 周期复值函数 275

8 快速Fourier变换 276

8.1 快速Fourier变换 277

8.2 以2为底的FFT 278

习题 282

计算实习题 283

第八章 数值积分与数值微分 285

1 数值积分的基本概念 286

1.1 代数精度 286

1.2 插值型求积公式 287

2 Newton-Cotes求积公式 288

2.1 梯形公式和Simpson公式 288

2.2 Newton-Cotes求积公式 292

2.3 Newton-Cotes求积公式的误差分析 293

2.4 开（型）Newton-Cotes求积公式 295

2.5 Newton-Cotes求积公式的数值稳定性 297

3 复合求积公式 298

3.1 复合梯形求积公式 299

3.2 复合Simpson求积公式 300

3.3 带有导数值的求积公式及其复合公式 302

4 Gauss求积公式 304

4.1 Gauss型求积公式 305

4.2 Gauss求积方法的收敛性和稳定性 312

4.3 Gauss-Legendre求积公式 313

4.4 Gauss-Chebyshev求积公式 317

4.5 Gauss-Laguerre求积公式 318

4.6 Gauss-Hermite求积公式 319

5 Romberg求积算法 320

5.1 Euler-Maclaurin公式 320

5.2 Richardson外推方法 321

5.3 Romberg求积方法 323

6 自适应Simpson求积方法 326

7 奇异积分的数值计算 330

7.1 区间截断 330

7.2 变量替换 331

7.3 Kontorovich奇点分离法 332

8 数值微分 334

8.1 数值微分公式 335

8.2 数值微分的外推算法 338

习题 339

计算实习题 341

第九章 常微分方程初值问题的数值解法 342

1 常微分方程初值问题 342

2 Euler方法 343

2.1 Euler方法 343

2.2 隐式Euler方法 345

2.3 梯形方法及改进Euler方法 346

3 显式单步法 349

3.1 截断误差 349

3.2 相容性 351

3.3 收敛性 352

3.4 关于初值的稳定性 355

3.5 绝对稳定性 355

4 Runge-Kutta方法 358

4.1 用Taylor展开构造高阶数值方法 358

4.2 显式Runge-Kutta方法 360

4.3 显式Runge-Kutta方法的性质 365

4.4 高阶方法与隐式Runge-Kutta方法 366

4.5 变步长的Runge-Kutta方法 368

5 线性多步法 371

5.1 一般形式的线性多步法 371

5.2 基于数值积分的方法 373

5.3 Adams方法 375

5.4 预估校正方法 379

6 线性差分方程 381

6.1 线性差分方程的基本性质 381

6.2 齐次差分方程的解 383

7 线性多步法的相容性、收敛性及稳定性 384

7.1 相容性及方法的阶 384

7.2 收敛性 386

7.3 稳定性 391

7.4 绝对稳定性 393

8 一阶方程组 397

8.1 一阶方程组 397

8.2 高阶微分方程的初值问题 400

8.3 刚性微分方程组 401

习题 403

计算实习题 405

部分习题的答案或提示 407

参考文献 418