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第三篇 多元函数微积分 1

第十章 多元函数的微分法 1

第一节 n维空间中的点集拓扑简介 1

1．1 n维空间概念 1

1．2 n维空间中点列的极限 2

1．3 n维空间中点集的邻域、开集与区域 4

1．4 n维空间中点集的聚点与闭集 6

1．5 n维空间中开集的构造 7

习题10．1 9

第二节 多元函数的极限与连续性 10

2．1 多元函数概念 11

2．2 多元函数的极限 13

2．3 多元函数的连续性 19

习题10．2 21

第三节 偏导数与全微分 24

3．1 偏导数概念 24

3．2 微分中值定理与增量公式 28

3．3 全微分 30

3．4 微分法则 33

3．5 高阶偏导数 33

3．6 高阶全微分 35

习题10．3 36

第四节 复合函数的微分法 38

4．1 链式法则 39

4．2 一阶全微分形式不变性 43

习题10．4 44

5．1 由一个方程确定的隐函数的微分法 46

第五节 隐函数的微分法 46

5．2 由方程组所确定的隐函数的微分法 49

5．3 关于隐函数的存在性 53

5．4 Jacobi行列式的性质 55

习题10．5 56

第六节 方向导数与梯度 59

6．1 方向导数概念 59

6．2 数量场的梯度 61

习题10．6 65

第七节 向量值函数及其微分法 66

7．1 向量值函数概念 67

7．2 向量值函数的极限与连续 67

7．3 向量值函数的微分法 68

习题10．7 70

第八节 多元函数的Taylor公式与极值问题 71

8．1 n元函数的二阶Taylor公式 71

8．2 无约束极值问题 75

8．3 约束极值问题 81

8．4 Lagrange乘数法 83

8．5 最小二乘法 86

习题10．8 88

第九节 多元函数微分法在几何上的简单应用 90

9．1 空间曲线的切线与法平面 90

9．2 曲面的切平面与法线 93

习题10．9 95

1．1 几何形体及其度量 97

第十一章 重积分与第一型曲线、曲面积分 97

第一节 重积分与第一型线、面积分的概念和性质 97

1．2 几何形体上的质量问题 98

1．3 几何形体上的积分概念 99

1．4 几何形体上的积分的性质 100

习题11．1 101

第二节 二重积分的计算 103

2．1 二重积分的几何意义 103

2．2 直角坐标系下二重积分的计算 104

2．3 直角坐标系下二重积分计算公式的证明 109

2．4 极坐标系下二重积分的计算 111

2．5 二重积分的换元法 115

习题11．2 121

3．1 直角坐标系下三重积分的计算 123

第三节 三重积分的计算 123

3．2 三重积分的换元法 128

3．3 利用柱面坐标计算三重积分 130

3．4 利用球面坐标计算三重积分 132

习题11．3 134

第四节 第一型曲线与曲面积分的计算 136

4．1 第一型曲线积分的计算 136

4．2 曲面面积的计算 139

4．3 第一型曲面积分的计算 141

习题11．4 144

第五节 重积分与第一型线、面积分的应用举例 145

5．1 几何问题 146

5．2 质心问题 148

5．3 转动惯量问题 151

习题11．5 152

第六节 含参变量的积分与反常重积分 153

6．1 积分限为常数的含参变量的积分 154

6．2 积分限也含参变量的积分 157

6．3 含参变量的反常积分 159

6．4 反常重积分 162

习题11．6 165

第十二章 第二型曲线、曲面积分与场论初步 168

第一节 第二型曲线积分 168

1．1 第二型曲线积分的概念及性质 168

1．2 两类曲线积分之间的关系 172

1．3 第二型曲线积分的计算 173

习题12．1 178

第二节 第二型曲面积分 180

2．1 曲面的侧向问题 181

2．2 第二型曲面积分的概念及性质 181

2．3 第二型曲面积分的计算 185

习题12．2 190

第三节 各种积分之间的关系 192

3．1 Green公式 192

3．2 Gauss公式 198

3．3 Stokes公式 202

习题12．3 204

4．1 引例 207

第四节 平面曲线积分与路径无关的条件 207

4．2 第二型曲线积分与路径无关的条件 209

4．3 势函数概念及其求法 214

4．4 一阶全微分方程及其解法 216

习题12．4 220

第五节 场论简介 222

5．1 等值面与向量线 222

5．2 向量场的散度 223

5．3 向量场的旋度 229

5．4 几类特殊的场 234

习题12．5 235

第十三章 函数项级数 237

第一节 函数项级数的处处收敛与一致收敛 237

第四篇 函数项级数及常微分方程 237

1．1 函数项级数的处处收敛性 238

1．2 函数项级数的一致收敛概念 239

1．3 函数项级数的一致收敛判别法 241

1．4 一致收敛级数的和函数的性质 243

习题13．1 245

第二节 幂级数 247

2．1 幂级数的收敛半径与收敛区间 247

2．2 幂级数的运算 251

2．3 函数展开成幂级数 255

2．4 初等函数的幂级数展开 256

2．5 幂级数的应用举例 259

习题13．2 262

第三节 Fourier级数 263

3．1 三角函数系的正交性 264

3．2 以2π为周期的函数的Fourier级数 265

3．3 以2l为周期的函数的Fourier级数 271

3．4 Fourier级数的复数形式 275

习题13．3 276

第十四章 常微分方程 279

第一节 微分方程的几个基本问题 279

1．1 引入微分方程的几个典型问题 279

1．2 关于微分方程组的一些概念 282

1．3 高阶方程与一阶方程组的关系 284

习题14．1 286

2．1 线性微分方程通解的结构 287

第二节 线性微分方程与线性微分方程组通解的结构 287

2．2 线性微分方程组通解的结构 291

习题14．2 295

第三节 高阶常系数线性微分方程的解法 297

3．1 高阶常系数齐次线性微分方程的解法 298

3．2 高阶常系数非齐次线性微分方程的解法 302

习题14．3 309

第四节 常系数线性微分方程组的解法 312

4．1 常系数齐次线性微分方程组的解法 312

4．2 常系数非齐次线性方程组的解法 320

习题14．4 324

第五节 变系数线性微分方程的解法 326

5．1 Euler方程 327

5．2 降阶法 329

5．3 幂级数解法 331

习题14．5 334

第六节 微分方程应用举例 336

6．1 传染病传播的数学模型 336

6．2 Lanchester作战模型与硫黄岛战役 340

习题14．6 343

第七节 稳定性理论简介 344

7．1 引例 345

7．2 稳定性理论简介 346

习题14．7 355

第五篇 现代分析初步 359

第十五章 Lebesgue积分大意 359

1．1 有界开集、闭集的测度 360

第一节 n维空间Rn中点集的测度 360

1．2 一般有界集的测度 362

1．3 无界集的测度 367

1．4 可测集类 367

习题15．1 368

第二节 可测函数 368

2．1 可测函数概念 368

2．2 可测函数的性质 370

习题15．2 372

第三节 Lebesgue积分及其性质 372

3．1 测度有限的集上有界函数的积分 373

3．2 测度有限的集上一般函数的积分 377

3．4 Lebesgue控制收敛定理及Fubini定理 383

3．3 测度无限的集上的积分 383

习题15．3 386

第十六章 无穷维空间简介 387

第一节 距离空间 388

1．1 距离空间概念及其极限 388

1．2 距离空间的完备性 393

1．3 距离空间的紧致性 394

习题16．1 396

第二节 线性赋范空间及线性有界算子 397

2．1 线性赋范空间概念 397

2．2 线性有界算子 400

习题16．2 402

3．1 内积与内积空间 403

第三节 内积空间与Fourier分析 403

3．2 正交与投影定理 407

3．3 标准正交系与Fourier级数 408

3．4 关于Fourier级数的收敛性问题 409

习题16．3 412

第四节 不动点定理及其应用 413

4．1 不动点概念与不动点定理 413

4．2 Banach压缩映射不动点定理 414

4．3 应用举例 415

习题16．4 417

习题答案与提示 418

主要参考书 464