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多元函数微积分史简介 1

第十三章 多元函数的极限与连续性 3

1.平面点集论 3

1.1 邻域与点列极限 3

1.2 开集、闭集、区域 4

1.3 完备性定理 7

1.4 紧性定理 8

2.多元函数的极限 10

2.1 映射与多元函数的概念 10

2.2 全面极限 12

2.3 累次极限 14

3.多元函数的连续性 16

3.1 数值函数的连续性 16

3.2 向量函数的连续性 19

3.3 同胚变换 22

第十四章 多元函数微分学 25

1.偏导数与全微分 25

1.1 多元函数的偏导数 25

1.2 多元函数的全微分 28

2. 多元复合函数的偏导数求法 32

2.1 链锁法则 32

2.2 一阶微分形式的不变性 37

2.3 同胚变换的Jacobi行列式 38

3.高阶偏导数与高阶全微分 40

3.1 多元函数的高阶偏导数 40

3.2 多元复合函数的高阶偏导数 43

3.3 多元函数的高阶全微分 48

4.多元隐函数的求导法 50

4.1 一个方程的情形 50

4.2 方程给的情形 55

5.1 由参数方程表示的曲线和曲面 57

5.曲线的切线、曲面的切平面 57

5.2 由隐函数表示的曲面和曲线 59

6.方向导数和梯度 64

6.1 多元函数的方向导数 64

6.2 多元函数的梯度 67

7.Taylor公式、凸函数 70

7.1 多元函数的Taylor公式 70

7.2 凸函数 74

8.向量函数的可微性 78

8.1 线性变换 78

8.2 向量函数的微分概念 84

8.3 向量函数的微分运算 88

第十五章 隐函数存在定理 93

1.隐函数存在定理 93

1.1 一个方程的情形 93

1.2 方程组的情形 96

2. 逆变换存在定理 102

第十六章 一般极值与条件极值 107

1.一般极值问题 107

1.1 极值存在的必要条件 107

1.2 极值存在的充分条件 110

2.条件极值问题 116

2.1 极值存在的必要条件——Lagrange乘子法 116

2.2 极值存在的充分条件 120

3.最小二乘法 128

第十七章 含参变量的积分 132

1.含参变量的定积分 132

2.含参变量的反常积分 139

2.1 一致收敛的概念及其判别法 139

2.2 含参变量的无穷积分的性质 143

3.含参变量的积分计算举例 154

4.Euler积分——B函数与T函数 158

1.重积分的定义 166

1.1 求曲顶柱体的体积 166

第十八章 重积分 166

1.2 面积的定义 167

1.3 重积分的定义 171

2.重积分的存在性及其性质 173

2.1 函数可积的充分必要条件 173

2.2 可积函数类 178

2.3 可积函数的性质 180

3.化重积分为累次积分 182

3.1 化二重积分为累次积分的公式 182

3.2 公式的应用 186

3.3 化三重积分为累次积分 192

4.重积分的变量替换 197

4.1 二重积分的变量替换公式 197

4.2 公式的应用 203

4.3 三重积分的变量替换 211

5.n重积分 220

6.反常重积分 226

第十九章 曲线积分与曲面积分 238

1.第一型曲线积分 238

1.1 第一型曲线积分的定义及其存在性 238

1.2 计算公式 240

2.第二型曲线积分 245

2.1 第二型曲线积分的定义及其存在性 245

2.2 计算公式 248

2.3 两种类型曲线积分之间的联系 252

3.曲面面积 257

3.1 由显方程表示的曲面 257

3.2 由参数方程表示的曲面 259

3.3 连续曲面的面积 263

4.第一型曲面积分 266

4.1 第一型曲面积分的定义及其计算 266

4.2 例与应用 269

5.曲面的侧 274

6.第二型曲面积分 278

6.1 第二型曲面积分的定义 278

6.2 计算公式 281

6.3 例与应用 283

注记 288

第二十章 各种积分之间的联系、场论 290

1.Green公式 290

1.1 Green公式 290

1.2 例与调和函数 294

2.Gauss公式 302

2.1 Gauss公式 302

2.2 例与应用 305

3.Stokes公式 312

4.Brouwer不动点定理 317

5.曲线积分与路径无关性 322

6.1 数量场与向量场 334

6.场论初步 334

6.2 数量场的梯度 335

6.3 向量场的流量与散度 336

6.4 向量场的环量与旋度 337

6.5 保守场与势函数 339

7.场论的应用 340

7.1 在流体力学中的应用 341

7.2 在电磁场中的应用 344

7.3 Maxwell方程组 348

第二十一章 微分形式及其积分 351

1.微分形式 351

2.外微分 357

3.微分形式的拉回 363

4.微分流形 370

5.微分形式在微分流形上的积分 376

6.Stokes公式 379

注记 384