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引言 1

第一章 波动方程 1

1 方程的导出、定解条件 1

1.弦振动方程的导出 1

2.定解条件 4

3.定解问题适定性概念 6

习题 6

2 达朗贝尔(d Alembert)公式、波的传播 7

1.叠加原理 7

2.弦振动方程的达朗贝尔解法 8

3.传播波 10

4.依赖区间、决定区域和影响区域 10

5.齐次化原理 12

习题 14

3 初边值问题的分离变量法 16

1.分离变量法 16

2.解的物理意义 19

3.非齐次方程的情形 20

4.非齐次边界条件的情形 21

习题 22

1.膜振动方程的导出 23

4 高维波动方程的柯西问题 23

2.定解条件的提法 26

3.球平均法 27

4.降维法 30

5.非齐次波动方程柯西问题的解 31

习题 33

5 波的传播与衰减 33

1.依赖区域、决定区域和影响区域 33

2.惠更斯(Huygens)原理、波的弥散 35

3.波动方程解的衰减 36

1.振动的动能和位能 37

习题 37

6 能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性 37

2.初边值问题解的唯一性与稳定性 38

3.柯西问题解的唯一性与稳定性 41

习题 44

第二章 热传导方程 45

1 热传导方程及其定解问题的导出 45

1.热传导方程的导出 45

2.定解问题的提法 46

3.扩散方程 48

习题 48

1.一个空间变量的情形 49

2 初边值问题的分离变量法 49

2.圆形区域上的热传导问题 52

习题 53

3 柯西问题 54

1.傅里叶变换及其基本性质 54

2.热传导方程柯西问题的求解 56

3.解的存在性 58

习题 59

4 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 60

1.极值原理 60

2.初边值问题解的唯一性和稳定性 61

3.柯西问题解的唯一性和稳定性 64

习题 65

5 解的渐近性态 65

1.初边值问题解的渐近性态 65

2.柯西问题解的渐近性态 66

习题 67

第三章 调和方程 68

1 建立方程、定解条件 68

1.方程的导出 68

2.定解条件和定解问题 69

3.变分原理 71

习题 73

2 格林公式及其应用 74

1.格林(Green)公式 74

2.平均值定理 77

3.极值原理 77

4.第一边值问题解的唯一性及稳定性 78

习题 79

3 格林函数 80

1.格林函数及其性质 80

2.静电源像法 82

3.解的验证 85

4.单连通区域的格林函数 86

5.调和函数的基本性质 87

习题 91

4 强极值原理、第二边值问题解的唯一性 91

1.强极值原理 91

2.第二边值问题解的唯一性 93

3.用能量积分法证明边值问题的解的唯一性 94

习题 95

第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结 96

1 二阶线性方程的分类 96

1.两个自变量的方程 96

2.两个自变量的二阶线性方程的化简 96

3.方程的分类 99

4.例 100

5.多个自变量的方程的分类 101

习题 102

2 二阶线性方程的特征理论 103

1.特征概念 103

2.特征方程 104

3.例 106

习题 107

3 三类方程的比较 108

1.线性方程的叠加原理 108

2.解的性质的比较 109

3.定解问题提法的比较 112

习题 115

4 先验估计 115

1.椭圆型方程解的最大模估计 116

2.热传导方程解的最大模估计 116

3.双曲型方程解的能量估计 117

4.抛物型方程解的能量估计 120

5.椭圆型方程解的能量估计 121

习题 123

第五章 一阶偏微分方程组 124

1 引言 124

1.一阶偏微分方程组的例子 124

2.一阶方程组与高阶方程的关系 126

习题 127

2 两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论 127

1.特征方程、特征线 128

2.两个自变量的一阶线性偏微分方程组的分类 129

3.将严格双曲型方程组化为对角型 130

习题 132

3 两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 133

1.化为积分方程组 133

2.柯西问题解的存在性与唯一性 134

3.对初始条件的连续依赖性 137

4.依赖区间、决定区域和影响区域 137

5.关于柯西问题提法正确性的附注 138

习题 139

4 两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题 140

1.广义柯西问题 140

2.古尔沙(Goursat)问题 140

3.一般角状区域上的边值问题 141

习题 142

5 幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅(Cauchy-Κовалевская)的定理 143

1.幂级数解法 143

2.柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 144

习题 148

2.强解 149

1.研究广义解的必要性 149

第六章 广义解与广义函数解 149

1 广义解 149

3.弱解 151

习题 152

2 广义函数的概念 152

1.广义函数的物理背景 152

2.广义函数的数学概念 153

3.基本函数空间 154

4.？′(R″)，？′(R″)，？′(R″)广义函数 156

习题 157

1.广义函数的极限 158

3 广义函数的性质与运算 158

2.广义函数的导数 159

3.广义函数的乘子 159

4.广义函数的卷积 160

习题 161

4 广义函数的傅里叶变换 162

1.？(R )上的傅里叶变换 162

2.？(R )上的傅里叶变换 163

习题 165

5 基本解 165

1.柯西问题的基本解 165

2.调和方程的基本解 168

3.其他类型的基本解 169

习题 170

第七章 偏微分方程的数值解 171

1 调和方程狄利克雷问题的数值解 171

1.有限差分法 171

2.元体平衡法 173

3.有限元素法(里茨(Ritz)法) 176

4.有限元素法(伽辽金(Гал？ркин)法) 178

2 热传导方程的差分法 180

1.一维热传导方程的显式差分格式 180

习题 180

2.差分格式的收敛性和稳定性 182

3.隐式格式及其稳定性 184

习题 185

3 波动方程的差分法 185

1.波动方程初边值问题的差分格式 185

2.C-F-L条件(Courant-Friedrichs-Lewy条件) 186

习题 188

附录Ⅰ 傅里叶级数系数的估计 189

附录Ⅱ 张紧薄膜的张力为常值的证明 191

附录Ⅲ 特殊函数 193