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第1章　误差和算法选择 1

1.1 误差概念 1

1.1.1　误差分类 1

1.1.2　误差表示法和误差限 3

1.1.3　误差运算 4

1.1.4　有效数字 4

1.2　算法选择 5

1.2.1 正确性 5

1.2.2　选择低复杂性算法 8

1.2.3　减少误差的一些简单办法 9

1.2.4　一种新的算法模式 9

习题1 10

第2章　解线性方程组方法之直接法 11

2.1 Gauss消元法 11

2.1.1　Gauss消元法 11

2.1.2　Gauss消元法的计算过程和计算算例 13

2.1.3　Gauss消元法计算量 15

2.1.4　Gauss列主元素消元法 16

2.1.5　Gauss全主元素消元法 18

2.1.6　Gauss列主元法和Gauss全主元法计算量 20

2.1.7　Gauss全主元素消元法计算程序 20

2.1.8　消元法适用范围 22

2.2　矩阵三角分解法 23

2.2.1　LU分解法 23

2.2.2　LU分解算例 24

2.2.3　利用LU分解法解方程组 25

2.2.4　LU分解法解方程组算例 25

2.2.5　平方根法和改进平方根法 27

2.2.6　改进平方根法 29

2.2.7　LU分解法、平方根法和改进平方根法计算量 31

2.2.8　变带宽压缩存储平方根法 33

2.2.9　追赶法 36

2.3　范数简介 38

2.3.1　向量范数定义 38

2.3.2　常用向量范数 38

2.3.3　向量范数性质 38

2.3.4　矩阵范数定义 39

2.3.5　矩阵范数基本性质 40

2.4　直接法的稳定性分析 43

2.4.1　常见稳定性分析 43

2.4.2　消元法稳定性分析 46

2.4.3　三角分解法稳定性分析 47

2.4.4　直接法稳定性分析结论 48

习题2 48

第3章　解方程f(x)=0的迭代法 50

3.1　逐次迭代法 50

3.1.1　逐次迭代法 50

3.1.2　收敛阶 52

3.1.3　逐次迭代法的几何意义 53

3.1.4　计算实例 54

3.2　Newton法 55

3.2.1　Newton法算式推导 56

3.2.2　Newton法的几何意义 56

3.2.3　Newton法的收敛条件 56

3.2.4　Newton法的计算过程和计算实例 58

3.3　割线法 59

3.3.1 单点割线法 59

3.3.2　单点割线法的收敛条件 60

3.3.3 单点割线法的计算过程和计算实例 60

3.3.4　双点割线法 61

3.3.5　双点割线法的收敛条件 61

3.3.6　双点割线法的计算过程和计算实例 61

3.4　对分法 62

3.4.1　对分法算式推导 62

3.4.2　对分法的计算过程和计算实例 63

3.5　分离根方法及求所有根算法 63

3.5.1　分离根方法 64

3.5.2　求所有根算法 64

3.5.3　特殊处理 64

3.5.4　计算实例 65

习题3 65

第4章　解线性代数方程组的迭代法 66

4.1 向量序列和矩阵序列的极限 66

4.2　Jacobi迭代法 67

4.2.1　Jacobi迭代法推导 67

4.2.2　Jacobi迭代法的矩阵形式 68

4.2.3　Jacobi迭代法的计算过程和计算实例 69

4.3　Seidel迭代法 70

4.3.1　Seidel迭代算法推导 70

4.3.2　Seidel迭代法的矩阵表示 70

4.3.3　Seidel迭代法的计算过程和计算实例 71

4.4　松弛法 72

4.4.1　松弛法计算公式 72

4.4.2　松弛法的矩阵形式 72

4.4.3　松弛法的计算过程和计算实例 73

4.5　迭代法收敛条件 74

4.5.1　对角占优矩阵和不可约矩阵 74

4.5.2　迭代法的收敛条件和误差估计 75

4.6　压缩存储迭代法 84

4.6.1　压缩存储Seidel迭代法 84

4.6.2　压缩存储Seidel迭代法计算公式 85

4.6.3　压缩存储Seidel迭代法计算步骤 85

4.6.4　计算实例 86

习题4 88

第5章　特征值数值算法 90

5.1 幂法 90

5.1.1　幂法计算公式 90

5.1.2　实用幂法 91

5.1.3　实用幂法的计算过程和计算实例 92

5.2　原点平移和逆幂法 93

5.2.1 原点平移算式 93

5.2.2　原点平移加幂法的计算特征值过程和计算实例 93

5.2.3　逆幂法 94

5.2.4　逆幂法计算实例 95

5.3 实对称矩阵特征值数值算法——对分法 96

5.3.1 镜面反射矩阵及其性质 97

5.3.2　实对称矩阵三对角化 98

5.3.3　实对称矩阵三对角化算法 99

5.3.4　实对称矩阵三对角化程序 100

5.3.5　求实对称矩阵特征值的对分法 102

习题5 108

第6章　代数插值多项式 109

6.1 Lagrange插值多项式 109

6.1.1　Lagrange插值多项式 109

6.1.2　代数插值多项式余项 111

6.1.3 Lagrange插值多项式计算及计算实例 111

6.2　Newton插值多项式 112

6.2.1　一阶、二阶Newton插值多项式系数计算 112

6.2.2　差商及其计算公式 113

6.2.3　Newton插值多项式计算 115

6.2.4　用Newton插值多项式做插值计算的计算步骤和实例 116

6.2.5　带重节点的Newton插值多项式 118

6.2.6　带重节点的Newton插值多项式计算过程和计算实例 118

6.2.7　带重节点的插值多项式的插值余项 119

6.3　幂级数型代数插值多项式 120

6.3.1 幂级数型插值多项式 120

6.3.2　幂级数型插值多项式计算过程和计算实例 122

6.4　代数插值多项式的收敛性和稳定性 124

6.4.1　代数插值多项式的收敛性 124

6.4.2　代数插值多项式稳定性分析 127

习题6 133

第7章　样条函数 135

7.1　二次样条函数 135

7.1.1　二次样条函数特性 135

7.1.2　二次样条函数系数确定 135

7.1.3　二次样条插值计算过程和计算实例 137

7.1.4　二次样条插值余项 138

7.2　三次样条函数 139

7.2.1 三次样条函数的定义 139

7.2.2　边界条件和边界条件类型 139

7.2.3　三次样条函数的构造方法 140

7.2.4 次样条计算过程 143

7.2.5　三次样条计算实例 145

习题7 146

第8章　有理插值 147

8.1　连分式 147

8.1.1　连分式概念 147

8.1.2　连分式计算 150

8.2　有理插值 152

8.2.1　有理插值函数 152

8.2.2　反差商递推计算公式 153

8.2.3　有理插值计算过程及计算实例 154

8.2.4　有理插值的逐次计算法 155

8.2.5　有理插值逐次计算法的计算过程和计算实例 155

8.2.6　误差估计 157

习题8 158

第9章　数值微积分 159

9.1　数值积分基本方法 159

9.1.1　一般数值积分公式 159

9.1.2　构造求积公式的基本方法 160

9.1.3　代数精确度 160

9.2　数值积分基本方法 161

9.2.1　梯形积分公式 161

9.2.2　梯形积分公式的截断误差 161

9.2.3　复合梯形积分公式 162

9.2.4　复合梯形积分公式截断误差 162

9.2.5 复合梯形积分公式计算过程和计算实例 163

9.2.6　Simpson积分公式 163

9.2.7　Simpson积分的代数精确度 164

9.2.8　Simpson积分公式的截断误差 165

9.2.9　复合Simpson积分公式及其截断误差 165

9.3　Newton积分 166

9.3.1 通用Newton积分公式的求积系数和Cotes系数 167

9.3.2　n阶Newton积分的代数精确度 168

9.3.3　Newton积分的截断误差 169

9.3.4　Newton积分的稳定性分析 170

9.4　Gauss积分 171

9.4.1 选取节点位置和系数可提高代数精确度 171

9.4.2　正交多项式 172

9.4.3　Gauss积分 173

9.4.4　Gauss-Legendre积分计算过程和计算实例 174

9.4.5　n阶Gauss积分代数精确度 174

9.4.6　Gauss积分的截断误差 175

9.4.7　Gauss积分的稳定性和复合Gauss积分 176

9.5　Romberg积分 176

9.5.1 复合梯形积分公式逐次分半算法 176

9.5.2　复合梯形积分公式逐次分半算法的计算步骤 177

9.5.3　复合梯形积分公式逐次分半算法的计算实例 177

9.5.4　Romberg积分公式 178

9.5.5　Romberg积分公式的计算步骤 179

9.5.6　Romberg积分公式的计算实例 180

9.6　导数数值算法 180

9.6.1 差商法 181

9.6.2　外推法 181

9.6.3　外推法求导数计算步骤 182

9.6.4　外推法计算实例 182

9.6.5　利用插值多项式计算一阶导数和二阶导数 182

9.6.6　用幂级数型插值多项式计算函数的一阶和二阶导数算例及计算过程 184

习题9 184

第10章　常微分方程初值问题的数值解 186

10.1 Euler法 187

10.1.1　Euler公式的推导 187

10.1.2　Euler法的计算步骤 188

10.1.3　Euler法的截断误差 189

10.2 改进Euler法和预估-校正法 191

10.2.1　改进Euler法 191

10.2.2　改进Euler法的收敛性 193

10.2.3　预估-校正法 194

10.2.4　预估-校正法的计算步骤 194

10.2.5　预估-校正法的计算实例 194

10.3　Runge-Kutta法 195

10.3.1 高阶Taylor法 195

10.3.2　二阶Taylor法计算实例 196

10.3.3　二阶Runge-Kutta法 197

10.3.4　三阶和四阶Runge-Kutta法的计算公式 199

10.3.5　四阶Runge-Kutta法的计算步骤 199

10.3.6 四阶Runge-Kutta法的计算实例 200

10.4　Adams法 200

10.4.1 Adams内插法 201

10.4.2　Adams外插法 203

10.4.3　Adams外插法与内插法的计算实例 205

10.4.4　四阶Adams预估-校正法的计算公式 205

10.4.5 四阶Adams预估-校正法的计算步骤 206

10.4.6 四阶Adams预估-校正法的计算实例 206

10.5　收敛性与稳定性 207

10.5.1 收敛性 207

10.5.2　稳定性 209

习题10 211

第11章　算法、公式、程序和语句 212

11.1　简单算法和重复型简单算法 212

11.1.1　简单算法 212

11.1.2　重复型简单算法 213

11.2　尝试法 214

11.2.1 尝试法 214

11.2.2　不定重循环问题 215

11.3　递推算法 218

11.3.1　一元递推算法 218

11.3.2　二元递推算法 220

11.3.3　广义递推算法 221

11.4　迭代算法 223

11.4.1　变量迭代法 223

11.4.2　向量迭代法 225

11.5　数学实验 226

参考文献 227