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第一章 导论 1

七、射影变换公式 （1 4

1.1 集合的概念 5

1.2 映射与变换的概念 6

1.3 变换的乘积 8

1.4 变换群 9

第二章 仿射变换 11

2.1 仿射映射的定义及性质 11

2.2 仿射变换的代数表示 19

一、坐标变换式 19

二、面积变换系数 20

三、平面透视仿射变换 21

四、空间仿射变换、体积变换系数 22

五、空间透视仿射变换 23

六、主方向 25

一、运动变换 27

2.3 仿射变换的特例 27

二、斜对称 28

三、同位相似 28

四、相似变换 28

五、正交变换 29

六、剪移 29

七、压缩（拉伸）变换 30

八、双曲旋转 30

九、椭圆旋转 31

2.4 平行投影与仿射映射 32

一、平面图形的平行投影 32

二、立体图形的平行投影 33

三、仿射图的组合 34

2.5 一般仿射变换视为简单仿射变换之积的概念 35

2.6 仿射变换的应用举例 36

一、在几何证明题及作图题中的应用 36

二、在求面积及体积中的应用 38

三、在力学中的应用 39

四、在机构设计中的应用 40

五、在画法几何作图中的应用 41

第三章 射影变换 48

3.1 射影平面的概念 48

一、透视映射与变换 48

二、射影平面的第一模型 49

三、射影平面的第二模型 50

3.2 射影映射 51

一、射影映射的定义及性质 51

二、射影映射的第一基本定理 52

三、射影映射的第二基本定理 56

四、射影变换群 58

3.3 双重比 58

一、射影平面上不共直线的四个点 58

二、位于直线上四点的双重比 59

三、属于同一束的四条直线的双重比 60

四、透视的与射影的点列和线束 61

五、在机构设计中的应用 （1 64

3.4 调和分隔 66

一、分隔的概念 66

二、调和分隔 66

三、完全四边形和完全四角形 68

3.5 射影变换实例 70

一、两个一维基本形的射影变换 70

二、对合对应 72

三、透射 74

四、双曲型和抛物型透射的特殊情形 78

五、射影平面的对合变换 79

3.6 射影变换的代数表示 81

一、射影平面上的射影坐标 81

二、射影坐标系的基点 83

三、平面上的齐次笛卡儿坐标 83

四、非齐次射影坐标 86

五、齐次射影坐标 88

六、坐标变换 91

七、笛卡儿坐标中的射影变换公式 95

八、射影变换中的二重元素 96

3.7 空间的射影变换 98

一、射影空间的构成 98

二、射影空间元素的从属（结合）关系 99

三、对偶原理 100

四、齐次坐标 101

五、射影坐标 102

六、射影变换 103

3.8 射影平面上的曲线 105

一、射影平面上的曲线和欧几里得空间中锥面的联系 105

二、第一模型的二阶曲线 105

三、二阶曲线的射影分类 107

3.9 卵状二阶曲线的射影结构 108

一、用两个一次射影线束产生二阶曲线 108

二、用两个一次射影点列作二阶曲线的切线族 110

三、巴斯加定理 111

四、白良松定理 112

3.10 成射影对应的二阶曲线 113

一、定义 113

二、曲线到自身射影变换的作图法 114

一、基本概念 116

3.11 对射变换 116

二、对应元素的作图法 120

三、透视的对射变换 121

四、对合的对射变换 123

五、把对于二阶锥面的配极变换 125

六、射影平面的配极变换 127

七、二阶曲面的极点和极平面 133

3.12 射影变换中图形作法的定理及问题 134

一、透视三角形 134

二、笛沙格定理 135

三、完全四角形的截形 136

四、对合点列的圆束作图法 137

五、巴普斯定理 139

六、给出五个元素作二阶曲线 140

七、作二阶曲线的切线或求切点的问题 141

3.13 直线和平面的垂直性及反极对应 142

一、相互垂直的直线和平面 142

二、主配极对应 143

三、主反极对应 143

四、利用自共轭三角形给定主配极对应 144

五、自共轭三角形的蜕变 147

六、共轭点的绝对对合和主对含 149

七、平面的绝对形和空间的绝对形 151

一、在几何问题中的应用 155

3.14 射影变换的应用 155

二、在二阶曲线作图中的应用 158

三、在画法几何作图中的应用 159

四、在力学中的应用 162

六、在透视作图中的应用 166

七、在航空摄影测量中的应用 168

第四章 几何变换的矩阵方法 171

4.1 二维图形的变换矩阵 171

一、基本变换矩阵 171

二、各种变换的矩阵 175

三、矩阵的分解 177

四、绕任意轴的二维旋转 181

五、齐次坐标形式 181

4.2 三维图形的变换矩阵 185

一、恒等变换 186

二、等比例变换 186

三、不等比例变换 187

四、旋转变换 187

五、三面投影的矩阵 190

六、正轴测投影矩阵 191

七、透视变换矩阵 196

5.1 平方变换 211

第五章 平方变换 211

5.2 双值平方变换（一） 216

一、变换规律 216

二、直线的映象 218

三、圆的映象 222

5.3 双值平方变换（二） 223

5.4 中心平方变换 225

一、变换的定义 225

二、二阶曲线的变换 227

三、空间平方变换 227

四、中心平方变换的特殊情形 228

5.5 应用举例 232

五、二次曲面的中心平方变换 232

第六章 复平面的几何结构 238

6.1 复数的几何表示法 238

一、矢量与复数 238

二、复数的加法与减法的几何意义 239

三、复数的乘法与除法的几何意义 240

四、数1/α的几何表示法 242

6.2 复平面上的圆 242

一、圆的表示法 242

二、圆束 244

6.3 复平面上的几何变换 246

一、复变函数导数的幅角的几何意义 250

第七章 保角变换 250

7.1 复平面的保角变换 250

二、复变函数导数的模的几何意义 252

7.2 球极投影 253

一、复数球面 253

二、球极投影的公式 254

三、球极投影的重要性质 256

7.3 一般线性变换的保圆性 258

一、整式线性函数 258

二、函数w=1/z 260

三、分式线性函数 261

四、若干简单函数构成的映射 264

7.4 保角变换的应用 269

第八章 反演变换 273

8.1 平面反演变换 273

一、基本概念 273

二、变换公式及性质 274

8.2 空间反演变换 276

一、基本概念 276

二、变换公式及性质 276

8.3 反演变换的作图方法 280

一、直线的互逆图形作图法 280

二、圆周互逆图形的作图法 281

三、相切的两图形的互逆图形仍相切 281

一、导出新曲面和新曲线 283

8.4 反演变换的应用 283

二、在画法几何作图中的应用 285

三、在工程技术几何作图中的应用 286

四、在机构设计中的应用 290

第九章 拓扑变换 293

9.1 拓扑变换的基本概念 293

9.2 拓扑变换的不变量 295

9.3 网络图 297

9.4 欧拉示性数·欧拉定理 299

一、树形图的欧拉示性数 299

二、平面网络图的欧拉示性数 299

三、关于多面体的欧拉定理 300

9.5 拓扑变换的举例 302