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第一部分 基础训练Ⅰ 1

第1章 行列式 1

1.1 行列式的定义 1

1.2 行列式的性质 5

1.3 行列式按行(列)展开 10

1.4 行列式的计算 13

1.5 行列式乘法定理 30

习题答案与提示 33

2.1 矩阵及其运算 36

第2章 矩阵 36

2.2 初等变换与初等矩阵 50

2.3 矩阵的秩、等价矩阵 58

2.4 可逆矩阵 66

2.5 一些特殊矩阵 77

2.6 分块初等变换、矩阵方程 85

习题答案与提示 91

第3章 向量与向量空间 98

3.1 向量的线性关系 98

3.2 向量空间 110

3.3 实向量空间的内积与向量的正交性 119

习题答案与提示 126

第4章 线性方程组 129

4.1 线性方程组的解法 129

4.2 解的判定 138

4.3 解的关系 145

习题答案与提示 151

第5章 特征值与矩阵的相似 154

5.1 特征值和特征向量 154

5.2 有关特征值和特征向量的计算 159

5.3 相似矩阵 165

5.4 相似对角化矩阵 170

习题答案与提示 185

第6章 二次型 190

6.1 化二次型为标准形 190

6.2 惯性定理 196

6.3 正定二次型和正定矩阵 201

习题答案与提示 207

第二部分 基础训练Ⅱ 211

第7章 多项式 211

7.1 整除性 211

7.2 因式分解、根 216

7.3 整系数多项式 222

习题答案与提示 225

第8章 向量空间与线性变换 228

8.1 向量空间 228

8.2 子空间 236

8.3 线性变换，线性映射 245

8.4 线性变换与线性映射的矩阵 256

8.5 线性变换的特征值和特征向量 268

习题答案与提示 276

9.1 欧氏空间 282

第9章 欧氏空间、酉空间 282

9.2 酉空间 291

9.3 正规变换、正规矩阵 297

9.4 埃尔米特型、埃尔米特矩阵 314

9.5 对偶空间、双线性型 323

习题答案与提示 327

第10章 若尔当标准形 335

10.1 零化多项式与极小多项式 335

10.2 若尔当标准形 341

10.3 应用 352

习题答案与提示 357

第11章 近世代数初步 363

11.1 近世代数初步 363

第三部分 专题选讲 372

第1讲 中国剩余定理的应用 372

第2讲 范德蒙德行列式的几点应用 377

第3讲 加项行列式的计算技巧 387

第4讲 比内-柯西公式的应用 394

第5讲 矩阵的等价标准形的应用 402

第6讲 矩阵的满秩分解 414

第7讲 微小摄动法的应用 421

第8讲 方阵的迹 427

第9讲 方阵的特征多项式与最小多项式 434

第10讲 凯莱-哈密顿定理的应用 441

第11讲 方阵的特征值和特征向量 449

第12讲 舒尔引理的应用 460

第13讲 矩阵的若尔当标准形的应用 470

第14讲 矩阵可对角化的条件 488

第15讲 酉矩阵 499

第16讲 埃尔米特矩阵 507

常用符号表 515