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第一章 函数与极限 1

第一节 考试要求及考点精讲 1

一、考试要求 1

二、考点精讲 2

第二节 内容精讲及典型题型 2

一、函数及其性质 2

二、数列极限及其性质 11

三、函数极限及其性质 18

四、无穷小量及无穷小的阶 22

五、洛必达法则 27

六、泰勒公式 30

七、求极限的其他方法 32

八、连续和间断 34

九、闭区间上连续函数的性质 37

第三节 专题精讲及解题技巧 38

专题一 定积分定义和夹逼准则求极限的技巧 38

专题二 单调有界原理求极限的技巧 41

专题三 求极限的综合技巧 46

专题四 无穷小阶及其反问题 51

专题五 闭区间上连续函数性质 53

第二章 一元函数导数和微分 55

第一节 考试要求及考点精讲 55

一、考试要求 55

二、考点精讲 56

第二节 内容精讲及典型题型 56

一、导数定义及左右导数 56

二、导数和微分的计算 61

三、中值定理 74

四、单调性和凹凸性 79

五、渐近线和曲率、曲率半径（数学一、二） 86

第三节 专题精讲及解题技巧 88

专题一 导数定义与计算的技巧 88

专题二 单调性、极值、凹凸性、拐点的综合性题目 93

专题三 中值定理的解题技巧 96

专题四 不等式证明的技巧（含积分不等式） 103

专题五 方程根的问题证明 103

第三章 一元函数积分学 107

第一节 考试要求及考点精讲 107

一、考试要求 107

二、考点精讲 107

第二节 内容精讲及典型题型 108

一、原函数和不定积分 108

二、定积分定义、性质及应用 125

三、变限积分及其导数 128

四、定积分的计算 131

五、广义积分的敛散性 137

六、积分的几何应用 143

第三节 专题精讲及解题技巧 150

专题一 不定积分的技巧 150

专题二 定积分的技巧 153

专题三 变限积分的解题技巧 154

专题四 积分综合题目的技巧 157

专题五 积分不等式证明的技巧 159

专题六 极坐标，参数方程的几何应用 161

第四章 多元函数的微分学 165

第一节 考试要求及考点精讲 165

一、考试要求 165

二、考点精讲 166

第二节 内容精讲及典型题型 166

一、多元函数的基本理论 166

二、多元函数的偏导数 169

三、多元函数微分的基本理论与计算 173

四、多元函数的极值和最值 181

第三节 专题精讲及解题技巧 190

专题一 偏导数和全微分的定义 190

专题二 复合函数的偏导数和全微分的解题技巧 193

专题三 隐函数的偏导数和全微分的解题技巧 195

第五章 二元函数积分学 201

第一节 考试要求及考点精讲 201

一、考试要求 201

二、考点精讲 201

第二节 内容精讲及典型题型 202

一、二重积分的概念和性质 202

二、二重积分的计算 206

三、二重积分的应用（数学一、二） 217

第三节 专题精讲及解题技巧 219

专题一 二重积分的计算技巧 219

专题二 分块区域上的二重积分 224

专题三 抽象函数的二重积分 228

专题四 二重积分的证明题和不等式证明技巧 229

专题五 积分区域用参数表示的二重积分 232

第六章 微分方程 233

第一节 考试要求及考点精讲 233

一、考试要求 233

二、考点精讲 233

第二节 内容精讲及典型题型 234

一、一阶线性微分方程 234

二、高阶微分方程 242

三、差分方程（数学三） 253

第三节 专题精讲及解题技巧 255

专题一 变限积分对应的微分方程 255

专题二 偏微分方程转化为常微分方程 257

专题三 含参数的二阶线性非齐次微分方程 258

专题四 幂级数的和函数对应的微分方程 259

专题五 微分方程的综合题 260

专题六 微分方程的证明题 264

第七章 无穷级数（数学一、二） 267

第一节 考试要求及考点精讲 267

一、考试要求 267

二、考点精讲 267

第二节 内容精讲及典型题型 268

一、常数项级数 268

二、正项级数 270

三、交错级数 274

四、幂级数及其性质 279

五、函数的幂级数展开 282

六、傅里叶级数 287

第三节 专题精讲及解题技巧 291

专题一 利用微分方程求和函数 291

专题二 利用泰勒公式求和函数 293

专题三 常数项级数求和的技巧 294

专题四 幂级数证明的技巧 296

第八章 向量代数与空间解析几何（数学一） 299

第一节 考试要求及考点精讲 299

一、考试要求 299

二、考点精讲 299

第二节 内容精讲及典型题型 300

一、向量的相关概念 300

二、向量的运算 301

三、平面方程和直线方程 305

四、直线与平面之间的角度 307

五、点、线、面之间的距离 309

六、旋转曲面和二次曲面 310

七、空间曲线 314

八、多元微分学的几何应用 316

第三节 专题精讲及解题技巧 319

专题一 直线与平面之间的关系 319

专题二 空间直线生成的曲面 320

第九章 三重积分（数学一） 322

第一节 考试要求及考点精讲 322

一、考试要求 322

二、考点精讲 322

第二节 内容精讲及典型题型 322

一、三重积分的定义和性质 322

二、三重积分的计算 324

三、柱坐标和球坐标法 326

第三节 专题精讲及解题技巧 329

专题一 三重积分的综合计算 329

专题二 三重积分的物理应用 331

第十章 曲线积分与曲面积分（数学一） 335

第一节 考试要求及考点精讲 335

一、考试要求 335

二、考点精讲 335

第二节 内容精讲及典型题型 336

一、第一类曲线积分 336

二、第一类曲线积分的物理应用 339

三、第二类曲线积分 341

四、格林公式和积分与路径无关 344

五、第一类曲面积分 346

六、第二类曲面积分 349

七、空间中第二类曲线积分 353

八、场论初步 356

第三节 专题精讲及解题技巧 359

专题一 格林公式解题技巧 359

专题二 积分与路径无关的综合题 361

专题三 高斯公式解题技巧 363

专题四 场论综合题 364

第十一章 几何应用专题 366

一、简单几何应用 366

二、微分方程在几何中的应用 375

三、级数在几何中的应用 380

第十二章 物理应用专题（数学一、二） 383

一、微元法的应用 383

二、牛顿定律的应用 388

三、综合物理应用 392

第十三章 经济学应用专题（数学三） 397

一、经济学函数、边际与弹性 397

二、函数极值的应用 401

三、差分、积分与复利的应用 409

附录一 常用数学公式 412

一、常用初等代数公式 412

二、常用基本三角公式 413

三、常用求面积和体积的公式 415

附录二 基本初等函数及其图形 417

附录三 几种常用的曲线 420