俄罗斯数学教材选译 数学分析 第2卷 第7版pdf电子书版本下载

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第九章 连续映射（一般理论） 1

1.度量空间 1

1.定义和实例 1

2.度量空间的开子集和闭子集 4

3.度量空间的子空间 6

4.度量空间的直积 7

习题 7

2.拓扑空间 8

1.基本定义 8

2.拓扑空间的子空间 11

3.拓扑空间的直积 11

习题 12

3.紧集 13

1.紧集的定义和一般性质 13

2.度量紧集 14

习题 16

4.连通的拓扑空间 16

习题 17

5.完备度量空间 18

1.基本定义和实例 18

2.度量空间的完备化 21

习题 24

6.拓扑空间的连续映射 24

1.映射的极限 24

2.连续映射 26

习题 29

7.压缩映射原理 29

习题 34

第十章 更一般观点下的微分学（一般理论） 35

1.线性赋范空间 35

1.数学分析中线性空间的实例 35

2.线性空间中的范数 36

3.向量空间中的标量积 38

习题 41

2.线性算子和多重线性算子 42

1.定义和实例 42

2.算子的范数 45

3.连续算子空间 48

习题 52

3.映射的微分 53

1.在一点可微的映射 53

2.一般的微分法则 54

3.某些实例 55

4.映射的偏导数 60

习题 61

4.有限增量定理及其应用实例 63

1.有限增量定理 63

2.有限增量定理的应用实例 65

习题 68

5.高阶导映射 68

1.n阶微分的定义 68

2.沿向量的导数和n阶微分的计算 69

3.高阶微分的对称性 71

4.附注 72

习题 73

6.泰勒公式和极值研究 74

1.映射的泰勒公式 74

2.内部极值研究 74

3.实例 76

习题 80

7.一般的隐函数定理 82

习题 89

第十一章 重积分 91

1.n维区间上的黎曼积分 91

1.积分的定义 91

2.黎曼可积函数的勒贝格准则 93

3.达布准则 96

习题 98

2.集合上的积分 99

1.容许集 99

2.集合上的积分 100

3.容许集的测度（体积） 101

习题 102

3.积分的一般性质 103

1.积分是线性泛函 103

2.积分的可加性 103

3.积分的估计 104

习题 106

4.重积分化为累次积分 107

1.富比尼定理 107

2.一些推论 109

习题 112

5.重积分中的变量代换 113

1.问题的提出和变量代换公式的启发式推导 113

2.可测集和光滑映射 115

3.一维情况 116

4.Rn中最简微分同胚的情况 118

5.映射的复合与变量代换公式 119

6.积分的可加性和积分中变量代换公式的最终证明 120

7.重积分中变量代换公式的一些推论和推广 121

习题 124

6.反常重积分 126

1.基本定义 126

2.反常积分收敛性的比较检验法 128

3.反常积分中的变量代换 131

习题 133

第十二章 Rn中的曲面和微分形式 136

1.Rn中的曲面 136

习题 143

2.曲面的定向 144

习题 148

3.曲面的边界及边界的定向 149

1.带边曲面 149

2.曲面定向与边界定向的相容性 151

习题 154

4.欧氏空间中曲面的面积 154

习题 159

5.微分形式的初步知识 162

1.微分形式的定义和实例 162

2.微分形式的坐标记法 165

3.外微分形式 167

4.向量和微分形式在映射下的转移 170

5.曲面上的微分形式 173

习题 173

第十三章 曲线积分与曲面积分 176

1.微分形式的积分 176

1.原始问题、启发性思考和实例 176

2.微分形式在定向曲面上的积分的定义 181

习题 184

2.体形式，第一类积分与第二类积分 188

1.物质面的质量 188

2.曲面面积是微分形式的积分 188

3.体形式 189

4.体形式在笛卡儿坐标下的表达式 191

5.第一类积分与第二类积分 192

习题 194

3.数学分析的基本积分公式 196

1.格林公式 196

2.高斯-奥斯特洛格拉德斯基公式 200

3.R3中的斯托克斯公式 203

4.一般的斯托克斯公式 204

习题 207

第十四章 向量分析与场论初步 211

1.向量分析的微分运算 211

1.标量场与向量场 211

2.R3中的向量场与各种形式 211

3.微分算子grad，rot，div和？ 213

4.向量分析的一些微分公式 217

5.曲线坐标下的向量运算 218

习题 226

2.场论的积分公式 227

1.用向量表示的经典积分公式 227

2.div，rot，grad的物理解释 230

3.后续的某些积分公式 233

习题 235

3.势场 237

1.向量场的势 237

2.势场的必要条件 238

3.向量场是势场的准则 239

4.区域的拓扑结构与势 241

5.向量势，恰当微分形式与闭微分形式 243

习题 246

4.应用实例 249

1.热传导方程 249

2.连续性方程 251

3.连续介质动力学基本方程 252

4.波动方程 253

习题 255

第十五章 微分形式在流形上的积分 257

1.线性代数回顾 257

1.形式代数 257

2.斜对称形式代数 258

3.线性空间的线性映射和对偶空间的对偶映射 261

习题 262

2.流形 263

1.流形的定义 263

2.光滑流形与光滑映射 267

3.流形及其边界的定向 269

4.单位分解和流形在Rn中的曲面形式 272

习题 275

3.微分形式及其在流形上的积分 277

1.流形在一个点的切空间 277

2.流形上的微分形式 280

3.外微分 282

4.微分形式在流形上的积分 282

5.斯托克斯公式 284

习题 286

4.流形上的闭微分形式和恰当微分形式 290

1.庞加莱定理 290

2.同调与上同调 293

习题 297

第十六章 一致收敛性、函数项级数与函数族的基本运算 299

1.逐点收敛性与一致收敛性 299

1.逐点收敛性 299

2.基本问题的提法 300

3.依赖于参数的函数族的收敛性和一致收敛性 302

4.一致收敛性的柯西准则 304

习题 305

2.函数项级数的一致收敛性 306

1.级数一致收敛性的基本定义和判别准则 306

2.级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯检验法 308

3.阿贝尔-狄利克雷检验法 309

习题 313

3.极限函数的函数性质 313

1.问题的具体提法 313

2.两个极限运算可交换的条件 314

3.连续性与极限运算 315

4.积分运算与极限运算 318

5.微分运算与极限运算 320

习题 324

4.连续函数空间的紧子集和稠密子集 327

1.阿尔泽拉-阿斯柯利定理 327

2.度量空间C（K，Y） 329

3.斯通定理 330

习题 332

第十七章 含参变量的积分 335

1.含参变量的常义积分 335

1.含参变量的积分的概念 335

2.含参变量的积分的连续性 336

3.含参变量的积分的微分运算 337

4.含参变量的积分的积分运算 340

习题 340

2.含参变量的反常积分 341

1.反常积分对参变量的一致收敛性 341

2.反常积分中的极限运算与含参变量的反常积分的连续性 347

3.含参变量的反常积分的微分运算 350

4.含参变量的反常积分的积分运算 352

习题 356

3.欧拉积分 358

1.β函数 358

2.Γ函数 359

3.β3函数与Γ函数之间的联系 362

4.实例 362

习题 364

4.函数的卷积和广义函数的初步知识 367

1.物理问题中的卷积（启发式讨论） 367

2.卷积的一些一般性质 369

3.δ型函数族与魏尔斯特拉斯逼近定理 371

4.分布的初步概念 376

习题 385

5.含参变量的重积分 390

1.含参变量的常义重积分 390

2.含参变量的反常重积分 390

3.具有变奇异性的反常积分 391

4.高维情形下的卷积、广义函数和基本解 395

习题 404

第十八章 傅里叶级数与傅里叶变换 409

1.与傅里叶级数有关的一些主要的一般概念 409

1.正交函数系 409

2.傅里叶系数和傅里叶级数 415

3.数学分析中的正交函数系的一个重要来源 423

习题 427

2.傅里叶三角级数 432

1.经典傅里叶级数收敛性的基本形式 432

2.傅里叶三角级数逐点收敛性的研究 435

3.函数的光滑性和傅里叶系数的下降速度 443

4.三角函数系的完备性 447

习题 453

3.傅里叶变换 459

1.函数的傅里叶积分表达式 459

2.函数的微分性质和渐近性质与它的傅里叶变换之间的相互关系 469

3.傅里叶变换的最重要的运算性质 472

4.应用实例 476

习题 480

第十九章 渐近展开式 487

1.渐近公式和渐近级数 489

1.基本定义 489

2.渐近级数的一般知识 493

3.渐近幂级数 497

习题 499

2.积分的渐近法（拉普拉斯方法） 502

1.拉普拉斯方法的思路 502

2.拉普拉斯积分的局部化原理 505

3.一些典型积分和它们的渐近式 506

4.拉普拉斯积分的渐近式主项 509

5.拉普拉斯积分的渐近展开式 511

习题 521

单元测试题 527

考试大纲 530

期末考试试题 533

期中测试题 534

附录一 初论级数工具 535

附录二 多重积分中的变量代换（公式推导和初步讨论） 541

附录三 高维几何学与自变量极多的函数（测度聚集与大数定律） 547

附录四 多元函数与微分形式及其热力学解释 554

附录五 曲线坐标系中的场论算子 563

附录六 现代牛顿-莱布尼茨公式与数学的统一（总结） 573

参考文献 581

基本符号 588

名词索引 592

人名译名对照表 611

译后记 614