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第1章 数值计算引论 1

1.1 数值计算方法 1

1.2 误差的来源 2

1.3 近似数的误差表示 3

1.3.1 绝对误差 3

1.3.2 相对误差 5

1.3.3 有效数字 6

1.3.4 有效数字与相对误差 9

1.4 数值运算误差分析 11

1.4.1 函数运算误差 12

1.4.2 算术运算误差 13

1.5 数值稳定性和减小运算误差 14

1.5.1 数值稳定性 14

1.5.2 减小运算误差 15

1.6 习题 20

第2章 非线性方程的数值解法 22

2.1 初始近似值的搜索 22

2.1.1 方程的根 22

2.1.2 逐步搜索法 23

2.1.3 区间二分法 24

2.2 迭代法 26

2.2.1 迭代原理 26

2.2.2 迭代的收敛性 28

2.2.3 迭代过程的收敛速度 34

2.2.4 迭代的加速 36

2.3 牛顿迭代法 39

2.3.1 迭代公式的建立 39

2.3.2 牛顿迭代法的收敛情况 41

2.3.3 牛顿迭代法的修正 42

2.4 弦截法 46

2.4.1 单点弦法 46

2.4.2 双点弦法 47

2.5 多项式方程求根 49

2.5.1 牛顿法求根 49

2.5.2 劈因子法 51

2.6 习题 55

第3章 线性代数方程组的数值解法 58

3.1 高斯消去法 59

3.1.1 顺序高斯消去法 59

3.1.2 列主元高斯消去法 65

3.1.3 高斯-若尔当消去法 69

3.2 矩阵三角分解法 72

3.2.1 高斯消去法的矩阵描述 72

3.2.2 矩阵的直接三角分解 75

3.2.3 用矩阵三角分解法解线性方程组 77

3.2.4 追赶法 82

3.3 平方根法 85

3.3.1 对称正定矩阵 85

3.3.2 对称正定矩阵的乔累斯基分解 86

3.3.3 改进平方根法 89

3.4 向量和矩阵的范数 92

3.4.1 向量范数 92

3.4.2 矩阵范数 95

3.5 方程组的性态和误差分析 98

3.5.1 方程组的性态和矩阵的条件数 98

3.5.2 误差分析 101

3.6 迭代法 102

3.6.1 迭代原理 102

3.6.2 雅可比迭代 103

3.6.3 高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代 105

3.6.4 松弛法 105

3.6.5 迭代公式的矩阵表示 107

3.7 迭代的收敛性 109

3.7.1 收敛的基本定理 109

3.7.2 迭代矩阵法 112

3.7.3 系数矩阵法 116

3.7.4 松弛法的收敛性 119

3.8 习题 120

第4章 插值法 126

4.1 代数插值 126

4.2 拉格朗日插值 128

4.2.1 线性插值和抛物线插值 128

4.2.2 拉格朗日插值多项式 130

4.2.3 插值余项和误差估计 132

4.3 逐次线性插值 136

4.3.1 三个节点时的情形 136

4.3.2 埃特金插值 137

4.3.3 内维尔插值 138

4.4 牛顿插值 138

4.4.1 差商及其性质 139

4.4.2 牛顿插值公式 141

4.4.3 差商和导数 144

4.4.4 差分 146

4.4.5 等距节点牛顿插值公式 149

4.5 反插值 150

4.6 埃尔米特插值 151

4.6.1 拉格朗日型埃尔米特插值多项式 152

4.6.2 牛顿型埃尔米特插值多项式 154

4.6.3 带不完全导数的埃尔米特插值多项式 155

4.7 分段插值法 159

4.7.1 高次插值的龙格现象 159

4.7.2 分段插值和分段线性插值 159

4.7.3 分段三次埃尔米特插值 161

4.8 三次样条插值 162

4.9 习题 167

第5章 曲线拟合的最小二乘法 171

5.1 最小二乘法 171

5.1.1 最小二乘原理 171

5.1.2 直线拟合 174

5.1.3 超定方程组的最小二乘解 175

5.1.4 可线性化模型的最小二乘拟合 176

5.1.5 多变量的数据拟合 179

5.1.6 多项式拟合 181

5.2 正交多项式及其最小二乘拟合 184

5.2.1 正交多项式 185

5.2.2 用正交多项式进行最小二乘拟合 190

5.3 习题 191

第6章 数值积分和数值微分 193

6.1 数值积分概述 193

6.1.1 数值积分的基本思想 193

6.1.2 代数精度 194

6.1.3 插值求积公式 197

6.1.4 构造插值求积公式的步骤 199

6.2 牛顿-柯特斯公式 202

6.2.1 公式的导出 202

6.2.2 牛顿-柯特斯公式的代数精度 206

6.2.3 梯形公式和辛普森公式的余项 207

6.2.4 牛顿-柯特斯公式的稳定性 210

6.3 复化求积法 212

6.3.1 复化梯形公式 212

6.3.2 复化辛普森公式 213

6.3.3 复化柯特斯公式 214

6.4 变步长求积和龙贝格算法 215

6.4.1 变步长梯形求积法 215

6.4.2 龙贝格算法 217

6.5 高斯型求积公式 219

6.5.1 概述 219

6.5.2 高斯-勒让德求积公式 222

6.5.3 带权的高斯型求积公式 226

6.5.4 高斯-切比雪夫求积公式 227

6.5.5 高斯型求积公式的数值稳定性 228

6.6 数值微分 229

6.6.1 机械求导法 229

6.6.2 插值求导公式 231

6.7 习题 234

第7章 常微分方程初值问题的数值解法 237

7.1 欧拉法 238

7.1.1 欧拉公式 238

7.1.2 两步欧拉公式 241

7.1.3 梯形法 242

7.1.4 改进欧拉法 243

7.2 龙格-库塔法 244

7.2.1 泰勒级数展开法 245

7.2.2 龙格-库塔法的基本思路 245

7.2.3 二阶龙格-库塔法和三阶龙格-库塔法 247

7.2.4 经典龙格-库塔法 250

7.2.5 隐式龙格-库塔法 253

7.3 线性多步法 254

7.3.1 一般形式 254

7.3.2 亚当斯法和其他常用方法 256

7.3.3 亚当斯预报-校正公式 259

7.3.4 误差修正法 260

7.4 收敛性与稳定性 261

7.4.1 误差分析 261

7.4.2 收敛性 261

7.4.3 稳定性 263

7.5 方程组与高阶微分方程 264

7.6 习题 267

附录 部分习题参考答案 272

参考文献 278