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第九章 数项级数 1

§1 数项级数的收敛性 1

数项级数 1

级数的基本性质 3

习题 7

§2 上极限与下极限 8

数列的上极限和下极限 8

上极限和下极限的运算 10

习题 14

§3 正项级数 15

正项级数 15

比较判别法 15

Cauchy判别法与D′Alembert判别法 17

Raabe判别法 20

积分判别法 22

习题 25

§4 任意项级数 26

任意项级数 26

Leibniz级数 27

Abel判别法与Dirichlet判别法 29

级数的绝对收敛与条件收敛 32

加法交换律 34

级数的乘法 38

习题 41

无穷乘积的定义 42

§5 无穷乘积 42

无穷乘积与无穷级数 45

习题 50

第十章 函数项级数 52

§1 函数项级数的一致收敛性 52

点态收敛 52

函数项级数(或函数序列)的基本问题 53

函数项级数(或函数序列)的一致收敛性 56

习题 63

§2 一致收敛级数的判别与性质 65

一致收敛的判别 65

一致收敛级数的性质 68

处处不可导的连续函数之例 75

习题 76

§3 幂级数 78

幂级数的收敛半径 78

幂级数的性质 80

习题 86

§4 函数的幂级数展开 87

Taylor级数与余项公式 87

初等函数的Taylor展开 91

习题 99

§5 用多项式逼近连续函数 100

习题 103

Euclid空间上的距离与极限 104

第十一章 Euclid空间上的极限和连续 104

§1 Euclid空间上的基本定理 104

开集与闭集 106

Euclid空间上的基本定理 109

紧集 111

习题 113

§2 多元连续函数 114

多元函数 114

多元函数的极限 115

累次极限 116

多元函数的连续性 118

向量值函数 120

习题 122

§3 连续函数的性质 123

紧集上的连续映射 123

连通集与连通集上的连续映射 125

习题 127

第十二章 多元函数的微分学 128

§1 偏导数与全微分 128

偏导数 128

方向导数 131

全微分 132

梯度 136

高阶偏导数 137

高阶微分 140

向量值函数的导数 142

习题 145

§2 多元复合函数的求导法则 148

链式规则 148

一阶全微分的形式不变性 154

习题 156

§3 Taylor公式 157

习题 161

§4 隐函数 162

单个方程的情形 162

多个方程的情形 168

逆映射定理 175

习题 177

§5 偏导数在几何中的应用 180

空间曲线的切线和法平面 180

曲面的切平面与法线 186

习题 191

§6 无条件极值 192

无条件极值 192

函数的最值 198

最小二乘法 201

习题 204

计算实习题 205

§7 条件极值问题与Lagrange乘数法 206

Lagrange乘数法 206

一个最优价格模型 214

习题 216

第十三章 重积分 218

§1 有界闭区域上的重积分 218

面积 218

二重积分的概念 220

多重积分 223

习题 225

§2 重积分的性质与计算 225

重积分的性质 225

矩形区域上的重积分计算 227

一般区域上的重积分计算 230

习题 236

§3 重积分的变量代换 239

曲线坐标 239

二重积分的变量代换 239

变量代换公式的证明 244

n重积分的变量代换 249

均匀球体的引力场模型 254

习题 256

§4 反常重积分 258

无界区域上的反常重积分 258

无界函数的反常重积分 264

§5 微分形式 267

有向面积与向量的外积 267

习题 267

微分形式 270

微分形式的外积 272

习题 276

第十四章 曲线积分、曲面积分与场论 277

§1 第一类曲线积分与第一类曲面积分 277

第一类曲线积分 277

曲面的面积 281

第一类曲面积分 285

通讯卫星的电波覆盖的地球面积 288

习题 290

第二类曲线积分 292

§2 第二类曲线积分与第二类曲面积分 292

曲面的侧 297

第二类曲面积分 299

习题 305

§3 Green公式、Gauss公式和Stokes公式 306

Green公式 306

曲线积分与路径无关的条件 313

Gauss公式 318

Stokes公式 322

习题 326

§4 微分形式的外微分 329

外微分 329

外微分的应用 331

梯度 333

§5 场论初步 333

习题 333

通量与散度 334

向量线 336

环量与旋度 338

Hamilton算子 343

保守场与势函数 345

均匀带电直线的电场模型 347

热传导模型 349

习题 351

第十五章 含参变量积分 353

§1 含参变量的常义积分 353

含参变量常义积分的定义 353

含参变量常义积分的分析性质 354

习题 357

§2 含参变量的反常积分 359

含参变量反常积分的一致收敛 359

一致收敛的判别法 360

一致收敛积分的分析性质 365

习题 371

§3 Euler积分 372

Beta函数 372

Gamma函数 374

Beta函数与Garmma函数的关系 375

习题 382

Fourier级数(三角级数) 384

第十六章 Fourier级数 384

§1 函数的Fourier级数展开 384

周期为2π的函数的Fourier展开 385

正弦级数和余弦级数 387

任意周期的函数的Fourier展开 389

习题 390

§2 Fourier级数的收敛判别法 393

Dirichlet积分 393

Riemann引理及其推论 395

Fourier级数的收敛判别法 397

习题 403

Fourier级数的分析性质 404

§3 Fourier级数的性质 404

Fourier级数的逼近性质 407

习题 409

§4 Fourier变换和Fourier积分 410

Fourier变换及其逆变换 410

Fourier变换的性质 414

习题 418

§5 快速Fourier变换 419

离散Fourier变换 419

快速Fourier变换 421

习题 425

计算实习题 426

索引 427