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1—1 数学模型与科技工程 1

〔1〕绪言 1

第一章 数学模型概述 1

第一章 数学模型概述 1

〔2〕科学发展与数学模型 2

〔3〕工程技术与数学模型 3

1—2 数学模型及分类 4

〔1〕模型 4

〔2〕数学模型 6

〔3〕数学模型的分类 8

1—3 建立数学模型的一般方法 12

〔1〕建立数学模型的方法与步骤 12

例1.3.1 建立行星运动数学模型的追溯 14

〔2〕举例 14

例1.3.2 铁道车辆的浮沉振动 22

〔1〕函数式 30

第二章 直接确定模型 30

2—1 直接确定模型——函数式 30

第二章 直接确定模型 30

〔2〕隐函数·复合函数 31

例2.1.1 复合函数的方框图表示 32

〔3〕系统的直接数学模型——函数的建立 33

例2.1.2 开普勒行星运行第三定律 33

例2.1.3 由开普勒定理推导牛顿万有引力定律 34

2—2 经验公式 36

〔1〕建立经验公式的步骤 36

〔2〕决定经验公式的形式 37

〔3〕常用经验公式 37

〔1〕直线 48

2—3 图示法 48

例2.3.1 铜导线的电阻与温度关系的经验公式 48

〔2〕曲线改直 50

例2.3.2 单摆振幅与时间关系的经验公式 50

2—4 最小二乘法 52

〔1〕最小二乘法原理 52

〔2〕正规方程 55

〔3〕线性及可化为线性的经验公式 57

例2.4.1 铜棒的长度与温度关系的经验公式 58

例2.4.2 油的粘度与温度关系的经验公式 60

例2.4.3 电弧电流与电压降之间的经验公式 61

例2.5.1 导线盘速度与电流频率之间的经验公式 64

〔1〕均值法 64

2—5 均值法与差分法 64

例2.5.2 钻孔速度与钻孔深度之间的经验公式 66

〔2〕差分法 67

例2.5.3 水深与流速间关系的经验公式 68

例2.5.4 比较三种求经验公式方法的误差 71

〔3〕方法的误差比较 71

〔1〕微观模型 74

3—1 基本概念 74

第三章 微观模型 74

例3.1.1 质量不断增长的雨滴的运动规律 74

第三章 微观模型 74

例3.1.2 乌王堆一号墓的年代 75

〔2〕导数、偏导数 77

〔3〕微分 78

〔1〕力学 80

3—2 物理学中一些与微分有关的基本定律 80

例3.2.1 离心式节速器 83

例3.2.2 物体在液面上的浮沉振动 84

例3.2.3 单摆的拉格朗日方程 87

例3.2.4 圆柱在圆筒内滚动的数学模型 88

〔2〕电学 89

例3.2.5 R—C电路 93

例3.2.6 线性定常RLC电路 93

〔3〕热学 95

例3.2.7 绝缘细棒的导热方程 96

例3.2.8 流动中的流体导热方程 96

〔1〕几何 98

3—3 几何、化学、群体增长及其他类型 98

例3.3.1 旋转反射面的形状 99

例3.3.2 铁路线路的缓和曲线 100

例3.3.3 旋转液面的形状 103

〔2〕化学动力学 104

例3.3.4 空气除尘 108

〔3〕溶液混合问题 108

例3.3.5 细菌繁殖 110

〔4〕群体理论模型及人口增长 110

例3.3.6 鱼类生存竞争的数学模型 113

例3.4.1 梁的弹性曲线 123

3—4 微观模型与微分方程 123

〔1〕微观模型的分类 123

例3.4.2 梁的横向振动 125

〔2〕集中参数系统的数学模型 127

例3.4.3 追线 128

例3.4.5 肿瘤生长的数学模型 134

例3.4.6 诊断糖尿病的数学模型 135

例3.4.7 传染病流行的数学模型 139

例3.4.8 弦微小横振动与膜振动 142

〔3〕分布参数系统的数学模型 142

例3.4.9 杆的纵振动 146

例3.4.10 扩散过程 148

例3.4.11 大气污染的扩散 150

例3.4.4 悬链线 151

例3.4.12 稳定温度分布与稳定浓度分布 151

例3.4.13 输电线方程 152

〔1〕定解条件 154

3—5 定解条件 154

〔2〕初始条件 157

例3.5.2 受持久力和冲击力作用的振动系统 159

例3.5.1 弦振动的初始条件 159

〔3〕边界条件 161

例3.5.3 杆的纵振动的边界条件 163

〔5〕衔接条件 165

〔4〕混合条件 165

例3.5.4 均匀介质球的衔接条件 166

〔1〕微观模型与宏观模型 168

第四章 宏观模型 168

4—1 宏观模型 168

第四章 宏观模型 168

〔2〕积分概念 169

〔3〕续系统的宏观模型 170

例4.1.1 亚贝尔问题 172

〔4〕例题 172

例4.1.2 R—C串联电路 173

4—2 积分方程式 174

〔1〕积分方程式 174

〔2〕线性积分力程的类型 176

〔3〕解的存在及唯一性 177

〔4〕线性齐次积分方程 182

〔5〕线性非齐次积分方程 184

〔6〕渥尔特拉方程 186

5—1 周期由数 189

〔1〕周期函数 189

第五章 周期模型 189

第五章 周期模型 189

〔2〕圆函数 190

5—2 傅里叶级数 190

〔1〕傅里叶级数 190

例5.2.1 矩形波函数的傅里叶级数 192

例5.2.2 锯齿函数的傅里叶级数 193

例5.2.3 饱和的放大器输出函数的傅里叶级数 194

〔2〕三类函数的傅里叶级数 196

〔3〕傅里叶级数的复数形式 200

例5.2.4 矩形波函数傅里叶级数的复数形式 202

5—3 周期函数的经验公式 203

〔1〕周期函数的经验公式 203

〔2〕系数公式 209

例5.3.1 周期机械振动的经验公式 211

例5.3.2 某地全年气温的经验公式 215

5—4 含周期系数的微分方程 220

〔1〕含周期系数的微分方程 220

例5.4.1 变摆长单摆 221

例5.4.2 具有周期参变量的电路 222

〔2〕可化得周期系数的微分方程 222

〔3〕周期系数线性微分方程的一些性质 227

第六章 离散型模型 231

〔2〕离散变量与连续变量的相互转化 231

〔1〕离散变量与连续变量 231

6—1 离散变量与连续变量 231

第六章 离散型模型 231

(4)热电子密度(5)水的密度、压强 232

(1)电流(2)浓度(3)放射性物质蜕变速度 232

例6.1.1 离散(变)量的连续化处理 232

(1)集中荷载(2)脉冲信号 233

例6.1.2 连续(变)量的离散化处理 233

例6.2.1 定期存款问题 234

〔1〕输入输出模型 234

6—2 离散型数学模型 234

例6.2.2 梯型电阻网络 235

例6.2.3 溶液的逐步混合问题 236

例6.2.4 弦受集中荷载时的位移 236

例6.2.5 随机问题的差分方程 237

例6.2.6 树群株数增长的数学模型 238

例6.2.7 一个经济模型 239

〔2〕方框图 240

〔3〕状态变量模型 241

例6.2.8 由系统的方框图推出它对应的数学模型 241

例6.2.9 输入——输出模型转化成状态变量模型 242

例6.2.10 一个经济问题的状态变量模型 244

〔1〕差分·差商 246

6—3 化连续型模型为离散型模型 246

〔2〕演算符号E和△ 248

〔3〕离散量与连续量的对应 250

例6.3.1 化常微分方程为差分方程 252

〔4〕微分方程化为差分方程 252

6—4 差分方程式 256

〔1〕基本概念 256

〔2〕简单差分方程的和分解法 257

例6.4.1 差分方程的直接和分解法 260

〔3〕线性差分方程 261

例6.4.2 求一阶线性差分方程y1+1′=2′y1的一般解 263

〔4〕常系数线性差分方程 264

例6.4.3 解常系数线性齐次差分方程 266

例6.4.4 解常系数线性非齐攻差分方程 269

〔5〕差分方程的数值解 271

第七章 线性模型 274

7—1 线性模型 274

〔1〕概念 274

第七章 线性模型 274

〔2〕线性数学模型的表示法 277

〔3〕输入-输出数学模型举例 277

例7.1.1 RLC电网络的数学模型 278

例7.1.2 R—C滤波器的离散数学模型 279

7—2 离散线性模型 280

〔1〕离散模型的卷积表示法 280

例7.2.1 用叠代法求系统的脉冲响应 282

〔2〕脉冲响应序列 282

例7.2.2 用求解法求系统的脉冲响应 285

〔3〕卷积的运算 285

例7.2.3 用卷积求离散系统的输出 286

例7.1.3 互感耦合电路的数学模型 289

例7.2.4 用矩阵法求卷积 289

7—3 δ函数 290

〔1〕一般定义 290

〔2〕用分配函数定义δ函数 296

7—4 连续线性模型 298

〔1〕连续线性模型的卷积表示法 298

〔2〕脉冲响应函数 301

例7.4.1 利用阶跃响应函数求脉冲响应函数 302

例7.4.2 利用齐次方程的解求脉冲响应函数 305

例7.4.3 水高阶微分方程描述的系统的脉冲响应函数 305

〔3〕连续系统卷积的计算 306

例7.4.4 按定义计算卷积 307

例7.4.5 用阶跃响应函数求输出函数 308

〔4〕方法的推广 309

例7.4.6 RLC电路的脉冲响应函数 310

例7.4.7 推广的离散系统的脉冲响应 311

7—5 状态变量模型 312

〔1〕单道输入、输出的离散系统 312

例7.5.1 单道输入输出的线性系统 315

〔2〕多道输入，输出的离散系统 316

例7.5.2 多道输入、输出的线性系统 317

例7.5.3 鳟鱼孵化场生态系统的数学模型 318

〔3〕连续系统 322

例7.5.4 连续系统的状态方程 324

8—1 随机现象的数学模型 325

〔1〕随机现象 325

第八章 随机模型 325

第八章 随机模型 325

〔2〕概率空间 327

〔3〕随机变量及分布函数 332

〔4〕数字特征 337

〔5〕随机向量 339

〔6〕随机变量的函数 343

〔1〕随机模型 346

8—2 贝努里试验概型 346

〔2〕贝努里概型·二项分布 347

〔3〕推广的贝努里概型·多项分布 350

〔4〕举例 350

例8.2.1 电能供应问题 350

例8.2.2 血清的检验 351

〔1〕波阿松概型·广义二项分布 352

8—3 波阿松试验概型·广义二项分布 352

〔2〕卜里耶分布 353

〔4〕超几何分布的推广 354

〔3〕超几何分布 354

〔5〕举例 355

例8.3.2 不放回抽样检查 355

例8.3.1 抽样检查 355

例6.3.3 鱼群的统计估值 356

8—4 区间上撒点概型·波阿松分布 357

〔1〕波阿松分布 357

〔2〕波阿松分布与二项分布的渐近关系 359

例8.4.1 放射性物质蜕变 360

〔3〕举例 360

例8.4.2 显微镜下计算细菌或血球数量 361

例8.4.3 废品问题 362

8—5 随机误差概型·正态分布 363

〔1〕正态分布 363

〔2〕三个概率分布的渐近关系 366

例8.5.1 服从正态分布的随机变量举例 367

〔3〕举例 367

例8.5.2 电话线路数量问题 368

8—6 利用频率分布描述随机现象 369

〔1〕频率的稳定性 369

〔2〕离散型随机变量 370

例8.6.1 离散型随机变量的频率分布 370

〔3〕连续型随机变量 371

例8.6.2 连续型随机变量的频率分布 371

例8.6.3 正态分布的判别 373

〔4〕正态分布 373

第九章 随机过程 378

9—1 随机过程 378

〔1〕基本概念 378

第九章 随机过程 378

〔2〕分布函数与数字特征 380

〔3〕随机过程的一些类型 382

9—2 生物学中的一些随机模型 386

〔1〕群体增长 386

例9.2.1 纯生过程的随机模型 387

例9.2.2 生灭过程的随机模型 389

〔2〕竞争型的群体增长 391

例9.2.3 竞争型群体增长的随机模型 392

〔3〕传染病流行 394

例9.2.4 简单传染病流行的随机模型 394

例9.2.5 两种群体中简单传染病流行的随机模型 395

例9.2.6 一般传染病流行的随机模型 396

9—3 化学动力学中的随机模型 398

〔1〕一般化学反应 398

例9.3.1 一级单一化学反应的随机模型 399

例9.3.2 二级双分子化学反应的随机模型 399

〔2〕链式化学反应 400

例9.3.3 直链反应的随机模型 401