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第一章 基础知识 1

一、数域 1

二、映射 6

三、二元运算 15

第二章 矩阵的运算 21

一、矩阵的加法、减法、乘法 21

二、矩阵乘法可交换的条件 27

三、矩阵的幂 31

四、矩阵的转置与共轭 40

五、矩阵的逆和伴随矩阵 45

六、矩阵的迹 63

七、矩阵的直积 65

一、关系 70

第三章 矩阵的三种等价关系 70

二、等价关系 72

三、等价类 75

四、剩余类 77

五、矩阵的初等变换与初等矩阵 77

六、矩阵的第一种等价关系——等价 79

七、分块矩阵的初等变换 85

八、矩阵的第二种等价关系——合同 87

九、矩阵的第三种等价关系——相拟 88

第四章 矩阵的秩 90

一、定义 90

二、求法 91

三、矩阵的运算及秩的变化 96

四、分块矩阵的秩 107

五、降阶公式 113

一、克莱姆法则 117

第五章 线性方程组 117

二、线性方程组的同解 125

三、消元法 126

四、迭代法介绍 135

五、齐次线性方程组的解空间 141

六、非齐次线性方程组解的结构 150

七、矩阵方程介绍 160

八、线性方程组的反问题 163

第六章 行列式 166

一、定义 166

二、性质与公式 172

三、化三角形 177

四、范德蒙行列式 184

五、降价法 192

六、拆成行列式之积(或和) 205

七、作辅助行列式 211

八、递推法 212

九、数学归纳法 226

十、主对角严格占优 227

十一、降阶定理 228

第七章 多项式的运算与因式分解 232

一、多项式的概念和运算 232

二、整除及带余除法 240

三、最大公因式 254

四、互素 259

五、不可约多项式与因式分解 276

第八章 多项式的根 290

一、多项式的根 290

二、单位根 295

三、有理根 299

四、根与系数的关系 302

五、三次与四次多项式的根 307

六、实系数多项式的根 310

七、斯图姆定理 316

八、两个多项式的公共根 321

第九章 多元多项式 327

一、定义 327

二、对称多项式 329

三、二次型的定义 336

四、二次型的标准形 338

五、实二次型合同的充要条件 349

六、正定与半正定二次型(矩阵) 360

第十章 若当标准形 380

一、λ—矩阵 380

二、入—矩阵的等价 383

三、行列式因子与不变因子 384

四、方阵的初等因子 390

五、矩阵相似的条件 393

六、最小多项式 396

七、若当标准形 404

八、方阵与对角阵相似的条件 422

九、两个矩阵同时相似于对角矩阵 431

第十一章 特征值与特征向量 434

一、定义与求法 434

二、三对角矩阵的特征值 454

三、矩阵多项式的特征值 457

四、哈密尔顿—凯莱定理 465

五、特征子空间 473

六、圆盘定理 478

七、特征值的界 483

八、广义特征值 488

一、对角矩阵与准对角矩阵 490

第十二章 几种特殊矩阵 490

二、三角矩阵 492

三、反对称矩阵 496

四、幂等矩阵 499

五、幂么矩阵 503

六、幂零矩阵 507

七、循坏矩阵与反循环矩阵 510

八、正规矩阵 521

九、酉矩阵 526

十、正交矩阵 530

十一、厄米特矩阵 541

十二、亚正定矩阵 545

十三、置换矩阵 549

十四、哈达玛(Hadamard)矩阵 552

一、向量范数 555

第十三章 矩阵范数 555

二、矩阵范数 558

第十四章 矩阵的稳定性 565

一、矩阵的稳定性 565

二、多项式的稳定性 567

第十五章 矩阵分解 577

一、定义 577

二、积因子分解 578

三、和因子分解 594

第十六章 广义逆、矩阵方程、不等式 597

一、减号广义逆 597

二、加号广义逆 600

三、线性方程组的解的公式 603

四、矩阵方程 604

五、凸函数 607

六、几个著名不等式 612

七、极值 615

八、实对称矩阵的特征值的表示 617

第十七章、非负矩阵与M矩阵 622

一、定义 622

二、非负矩阵的谱 625

三、正矩阵 630

四、M矩阵 634

第十八章 矩阵分析 641

一、极限 641

二、矩阵级数 643

三、几个常用的矩阵级数 648

四、矩阵的微分 650

五、矩阵的积分 653

第十九章 线性空间 654

一、定义与性质 654

二、向量的线性相关性 659

三、基、维数与坐标 674

四、线性子空间 687

五、线性子空间的交、和 693

六、直和 706

七、欧氏空间 713

八、酉空间(U空间) 726

九、线性空间的同态与同构 730

第二十章 线性变换 734

一、定义 734

二、常见的线性变换 735

三、运算 737

四、线性变换的矩阵 741

五、核和值域(象) 760

六、正交变换 774

七、酉变换 782

八、对称变换 784

九、反对称变换 787

十、共轭变换 788

十一、幂零变换 790

十二、幂等变换 792

十三、对合变换 793

十四、不变子空间 793

第二十一章 双线性函数 799

一、线性函数 799

二、对偶空间 802

三、双线性函数 812

四、对称双线性函数 818

第二十二章 代数系统的基本概念 831

一、集合 831

二、代数系统 835

一、群 839

第二十三章 群、子群和商群 839

二、子群和陪集 845

三、正规子群和商群 854

四、群的中心和换位子群 862

第二十四章 群的同态与直积 867

一、群的同态 867

二、自同构群 875

三、群的直积 881

第二十五章 循环群与置换群 890

一、循环群 890

二、置换群 901

第二十六章 有限生成的Abel群 912

一、有限Abel群 912

二、有限生成的Abel群 923

一、共轭 934

第二十七章 有限群的Sylow定理 934

二、Sylow定理的证明 941

三、Syliw定理的简单应用 947

第二十八章 环的基本概念 954

一、定义与例子 954

二、理想与商环 963

三、素理想与极大理想 972

四、环的同态与同构 978

五、环的直和 984

第二十九章 交换环上的矩阵论 991

一、基本概念 991

二、Mn(R)中的理想 1000

三、行列式 1007

第三十章 多项式环及其因式分解 1013

一、一个未定元的多项式环及其基本性质 1013

二、多个未定元的多项式环及其基本性质 1019

三、多项式的因式分解 1021

四、多项式函数与多项式的根 1034

五、对称多项式 1039

第三十一章 唯一分解整环 1045

一、交换环的整除性 1045

二、唯一分解整环 1051

三、主理想整环与Euclid整环 1058

四、唯一分解整环上的多项式环 1070

第三十二章 交换整环的分式域 1073

一、分式域 1073

二、可乘子集与分式环 1075

三、局部环 1080

第三十三章 环的有限性 1085

一、Artin环与Noether环 1085

二、Artin半单环 1087

一、模、子模和商模 1095

第三十四章 模 1095

二、模的同态 1103

三、模的直积与直和 1111

四、自由模 1120

第三十五章 主理想整环上的模 1133

一、主理想整环上的有限生成模 1133

二、不变因子、初等因子 1141

三、主理想整环上有限生成模的结构 1148

四、对Abel群与线性代数的应用 1158

五、主理想整环上有限生成模的自同态环 1166

第三十六章 模的有限性 1172

一、Artin模 1172

二、Noether模 1177

一、扩域 1184

第三十七章 域 1184

二、多项式的分裂、正规扩域 1200

三、可分性与不可分性 1209

四、有限伽罗瓦理论 1222

五、超越扩张 1234

第三十八章 有限域 1238

一、一般理论 1238

二、用有限域编码 1243

第三十九章 偏序集与格 1252

一、偏序集 1252

二、格、布尔代数 1262

三、有限偏序集上的反演公式 1275

第四十章 范畴与函子简介 1280

一、范畴 1280

二、函子 1282