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第一章 函数与极限 1

§1 函数 1

§1．1 函数的概念 1

§1．2 具有某些特性的函数 5

习题1-1 9

§2 数列极限 11

§2．1 数列极限的概念 11

§2．2 收敛数列的性质 16

§2．3 数列极限存在的准则 19

§2．4 数列极限存在的准则(续) 24

习题1-2 26

§3 函数极限 27

§3．1 函数极限的概念 27

§3．2 函数极限的性质 30

§3．3 函数极限存在的准则 32

§3．4 函数极限存在的准则(续) 34

§3．5 两个重要极限 35

§3．6 无穷小量、无穷大量、阶的比较 39

习题1-3 44

§4 函数的连续性 45

§4．1 函数连续的概念 45

§4．2 连续函数的局部性质 48

§4．3 闭区间上连续函数的性质 49

§4．4 初等函数在其定义域区间上的连续性 51

§4．5 闭区间上连续函数性质的证明 53

§4．6 一致连续 55

习题1-4 57

第一章综合题 58

第二章 导数与微分 60

§1 导数 60

§1．1 导数的概念 60

§1．2 导数的基本公式与运算法则 64

§1．3 参数式函数与隐函数的导数 72

§1．4 高阶导数 75

§1．5 导数在实际中的应用 79

习题2-1 81

§2 微分 86

§2．1 微分的概念 86

§2．2 微分的基本性质 88

§2．3 近似计算与误差估计 90

§2．4 高阶微分 91

习题2-2 92

第二章综合题 93

§1．1 费马定理、最大(小)值 95

第三章 微分中值定理及导数的应用 95

§1 微分中值定理 95

§1．2 罗尔定理 97

§1．3 拉格朗日定理、函数的单调区间 98

§1．4 柯西定理 103

习题3-1 104

§2 未定式的极限 106

§2．1 0/0型未定式的极限 106

§2．2 ∞/∞型未定式的极限 108

§2．3 其它类型未定式的极限 110

习题3-2 112

§3．1 泰勒定理 113

§3 泰勒定理、函数极值判定 113

§3．2 几个常用函数的麦克劳林公式 115

§3．3 带有佩亚诺余项的泰勒公式 116

§3．4 泰勒公式的应用 118

§3．5 函数极值的判定 120

习题3-3 121

§4 数学建模初步(一) 122

习题3-4 127

§5 函数图形的凹向与拐点 129

习题3-5 131

§6．1 曲线的渐近线 132

§6 函数图形的描绘 132

§6．2 函数图形的描绘 133

习题3-6 135

§7 导数在经济中的应用 135

§7．1 经济中常用的一些函数 135

§7．2 边际分析 137

§7．3 弹性分析 139

习题3-7 141

§8 曲率 143

§8．1 曲率 143

§8．2 曲率圆 145

习题3-8 147

§9 方程的近似根 147

§9．1 图解法 148

§9．2 数值法 148

习题3-9 153

第三章综合题 153

第四章 不定积分 155

§1 不定积分的概念 155

§1．1 原函数与不定积分 155

§1．3 不定积分的性质 156

§1．2 基本积分 156

习题4-1 158

§2 不定积分的几种基本方法 158

§2．1 凑微分法(第一换元法) 158

§2．2 变量代换法(第二换元法) 160

§2．3 分部积分法 163

习题4-2 166

§3 某些特殊类型函数的不定积分 168

§3．1 有理函数的不定积分 168

§3．2 三角函数有理式的不定积分 172

§3．3 某些无理函数的不定积分 175

习题4-3 178

第四章综合题 179

第五章 定积分及其应用 180

§1 定积分概念 180

§1．1 定积分的定义 180

§1．2 可积函数类 184

习题5-1 186

§2 定积分的性质和基本定理 186

§2．1 定积分的基本性质 187

§2．2 微积分学基本定理 190

习题5-2 193

§3 定积分的计算方法 194

§3．1 几种基本的定积分计算方法 194

§3．2 几种简化的定积分计算方法 197

习题5-3 202

§4 定积分的应用 203

§4．1 平面图形的面积 203

§4．2 立体及旋转体的体积 207

§4．3 微元法及应用 209

§4．4 定积分在物理中的应用 216

§4．5 定积分在经济中的应用 220

习题5-4 222

§5 广义积分 224

§5．1 无穷区间上的广义积分 224

§5．2 无界函数的广义积分 227

§5．3 广义积分敛散性的判别法 229

§5．4 Γ函数 233

习题5-5 235

§6 定积分的近似计算 236

§6．1 矩形法 236

§6．2 梯形法 236

§6．3 抛物线法 237

习题5-6 238

第五章综合题 239

第六章 常微分方程 241

§1 基本概念 241

习题6-1 244

§2 可分离变量方程 244

§2．1 可分离变量方程 244

§2．2 齐次微分方程 246

习题6-2 248

§3 一阶线性微分方程 249

§3．1 一阶线性微分方程 249

§3．2 伯努利(Bemoulli)方程 252

习题6-3 253

§4 全微分方程 254

习题6-4 255

§5 可降阶的二阶微分方程 255

§5．1 (d~2y)/(dx~2)=f(x)型微分方程 255

§5．2 (d~2y)/(dx~2)=f(x，dy/dx)型微分方程 256

§5．3 (d~2y)/(dx~2(=f(y，dy/dx)型微分方程 258

习题6-5 259

§6 二阶线性微分方程解的结构 260

习题6-6 262

§7．1 二阶常系数线性齐次方程及其解法 263

§7 二阶常系数线性微分方程的解法 263

§7．2 二阶常系数线性非齐次方程的解法 265

§7．3 欧拉方程 271

习题6-7 272

§8 常系数线性微分方程组 273

习题6-8 275

§9 二阶常系数线性微分方程的一般解法 275

§9．1 降阶法 275

§9．2 常数变易法 276

§10 数学建模(二)——微分方程在几何、物理中的应用举例 278

习题6-9 278

§11 差分方程 284

§11．1 差分方程的基本概念 284

§11．2 一阶线性差分方程 286

§11．3 二阶常系数线性差分方程 289

习题6-11 291

第六章综合题 292

附录Ⅰ 线性空间与映射 293

附录Ⅱ 可积函数类的证明 297

附录Ⅲ 积分表 302

习题答案 308