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第二版前言 1

第一章 Fourier变换 1

1.1 Fourier积分和Fourier变换的概念 1

1. 主值意义下的反常积分 1

第一版前言 4

2. Fourier变换的概念和Fourier积分定理 5

习题1.1 9

习题答案 10

1.2 δ函数及其Fourier变换 10

1. δ函数的δ型序列 11

2. δ函数的积分 14

3. δ函数的Fourier变换和Fourier变换的线性性质 16

4. 单位阶跃函数的Fourier变换及其性质 18

5. 分段可微函数的单位阶跃函数表示及其导数 20

习题*1.2 22

习题答案 23

1.3 Fourier变换的性质 24

1. 位移性质 24

2. 微分性质 25

3. 积分性质 28

4. 对称性质 29

习题1.3 30

习题答案 32

第二章 Laplace变换 33

2.1 Laplace变换的概念和存在定理 33

1. Laplace变换的概念及其线性性质 33

2. Laplace变换存在定理和象函数的微分性质 36

3. 幂函数的Laplace变换与Gamma函数Γ(χ) 39

习题2.1 40

习题答案 41

2.2 逆变换的计算和位移性质 42

1. 用留数计算Laplace逆变换 42

2. Laplace变换的延迟性质--时域上的位移性质 46

3. Laplace变换象函数的位移性质 48

4. 周期函数的Laplace变换 49

习题2.2 50

习题答案 52

2.3 Laplace变换的微分性质与积分性质及其应用--常微分方程的Laplace变换解法 54

1. 象原函数的微分性质 54

2. 象原函数的积分性质 56

3. 象函数和积分性质 57

4. 常微分方程的Laplace变换解法 60

习题2.3 63

习题答案 64

2.4 复合函数的Laplace逆变换与初值定理和终值定理 65

1. 复合函数的Laplace逆变换 66

2. 初值定理 72

3. 终值定理 74

习题2.4 80

习题答案 81

第三章 卷积定理和积分变换的应用 83

3.1 卷积和卷积定理 83

1. 卷积的概念及其存在性 83

2. 卷积的性质 88

3. Fourier变换的卷积定理 90

4. Laplace变换的卷积定理 92

5. 广义函数的卷积及其积分变换 94

习题3.1 100

习题答案 101

3.2. Fourier变换中的乘积定理和相关函数 102

1. Fourier变换中的乘积定理和能量积分 102

2. 相关函数及其性质 104

3. 能量谱密度及其性质 105

4. 相关函数与能量谱密度的关系 107

习题3.2 108

习题答案 109

3.3 Fourier变换在频谱分析中的应用--非周期函数的频谱 109

1. 周期函数的Fourier级数及其频谱简介 110

2. 非周期函数的频谱 114

习题3.3 116

习题答案 117

3.4 用积分变换解数学物理方程 117

1. 数学物理方程的Fourier变换解法 117

2. 数学物理方程的Laplace变换解法 124

习题3.4 129

习题答案 131

附录A 133

附录B 广义函数及其Fourier变换简介 140

1. 问题的提出 140

2. 几个重要的基本函数空间 142

3. 几个重要广义函数空间的广义函数以及这些空间的包含关系 146

4. 广义函数的局部性质及其支集 150

5. 广义函数的平移、相似变换，极限和导数 151

6. δ函数的构成δ型序列的充要条件 154

7. 广义函数的Fourier变换和广义函数空间Z′ 162

8. 广义函数Fourier变换的位移性质和微分性质 164

9. 空间Z′中广义函数的级数展开 166

附录C 关于无穷限的逐次积分的积分次序交换 167

附录D Fourier变换简表 176

附录E Laplace变换简表 182

本书参考文献 188