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出版说明 1

前言 1

第1章 数值计算方法与误差分析 1

1.1 数值计算方法 1

1.2 误差的来源 1

1.3 近似数的误差表示法 3

1.3.1 绝对误差 3

1.3.2 有效数字 4

1.3.3 相对误差 6

1.3.4 有效数字与相对误差 7

1.4 数值运算误差分析 9

1.4.1 函数运算误差 9

1.4.2 算术运算误差 10

1.5 减小运算误差若干原则 11

1.6 小结 16

习题一 16

2.1.1 逐步搜索法 18

2.1 初始近似值的搜索 18

第2章 非线性方程的数值解法 18

2.1.2 区间二分法 19

2.2 简单迭代法 21

2.2.1 迭代原理 21

2.2.2 迭代的收敛性 22

2.2.3 局部收敛性 26

2.2.4 迭代过程的收敛速度 28

2.2.5 迭代过程的加速 29

2.3.1 公式的建立 32

2.3 牛顿切线法 32

2.3.2 牛顿切线法的收敛情况 34

2.3.3 牛顿切线法的修正算法 35

2.4 弦截法 39

2.4.1 单点弦法 39

2.4.2 双点弦法(快速弦法) 41

2.5 多项式方程求根 42

2.5.1 牛顿法求多项式方程的根 42

2.5.2 劈因子法 44

2.6 非线性方程组的数值解法 48

2.6.1 牛顿-拉夫森法 49

2.6.2 拟牛顿法(布罗登法) 52

2.6.3 最速下降法 53

2.7 小结 55

习题二 55

第3章 线性代数方程组的数值解法 57

3.1 消去法 57

3.1.1 高斯消去法 58

3.1.2 选主元消去法 64

3.1.3 高斯-约当消去法 69

3.2 矩阵三角分解法 72

3.2.1 矩阵三角分解原理 72

3.2.2 解线性方程组的三角分解法 74

3.2.3 平方根法 76

3.2.4 追赶法 80

3.3 向量和矩阵的范数 83

3.3.1 向量的范数 83

3.3.2 矩阵的范数 86

3.4.1 方程组的性态和矩阵的条件数 89

3.4 方程组的性态 89

3.4.2 精度分析 91

3.5 迭代法 92

3.5.1 一般迭代法 92

3.5.2 雅可比迭代 93

3.5.3 高斯-塞德尔迭代 94

3.5.4 松驰法 95

3.5.5 迭代公式的矩阵表示 96

3.6.1 迭代矩阵法 98

3.6 迭代的收敛性 98

3.6.2 系数矩阵法 102

3.6.3 迭代收敛的充分必要条件 104

3.7 小结 106

习题三 106

第4章 插值与曲线拟合 109

4.1 插值问题 109

4.2 拉格朗日插值 110

4.2.1 线性插值(两点一次插值) 110

4.2.2 抛物线插值(三点二次插值) 111

4.2.3 n次代数插值 112

4.2.4 拉格朗日插值多项式 113

4.2.5 插值余项 117

4.3 逐次线性插值 120

4.3.1 三个节点时的情形 121

4.3.2 埃特金算法 121

4.4 牛顿插值 123

4.4.1 差商及其性质 123

4.4.2 牛顿插值公式 126

4.4.3 余项 127

4.5 等距节点插值 128

4.5.1 差分 128

4.5.2 等距节点牛顿插值公式 130

4.6 埃尔米特插值 132

4.7 分段插值法 134

4.7.1 高次插值的龙格现象 134

4.7.2 分段插值和分段线性插值 135

4.8.1 线性最小二乘拟合原理 137

4.8 曲线拟合的最小二乘法 137

4.8.2 直线拟合 138

4.8.3 多项式拟合 139

4.9 小结 140

习题四 140

第5章 数值积分和数值微分 144

5.1 数值积分概述 144

5.1.1 数值积分的基本思想 144

5.1.2 代数精度 145

5.1.3 插值求积分式 147

5.1.4 构造插值求积公式的步骤 150

5.2 牛顿-柯特斯公式 151

5.2.1 公式的导出 152

5.2.2 代数精度 155

5.2.3 低阶求积公式的余项 156

5.2.4 牛顿-柯特斯公式的稳定性 158

5.2.5 复化求积法 159

5.3 变步长求积和龙贝格算法 162

5.3.1 变步长梯形求积法 163

5.3.2 龙贝格算法 165

5.4 高斯型求积公式 167

5.4.1 一般概述 167

5.4.2 高斯-勒让德求积公式 170

5.4.3 高斯型求积公式的数值稳定性 176

5.5 数值微分 176

5.5.1 机械求导法 176

5.5.2 插值求导公式 178

习题五 181

5.6 小结 181

第6章 常微分方程初值问题的数值解法 184

6.1 尤拉法 185

6.1.1 尤拉格式 185

6.1.2 两步尤拉格式 188

6.1.3 梯形格式 189

6.1.4 改进尤拉格式 189

6.2 龙格-库塔法 191

6.2.1 泰勒级数展开法 191

6.2.2 龙格-库塔法的基本思路 192

6.2.3 二阶龙格-库塔法 193

6.2.4 三阶龙格-库塔法 195

6.2.5 四阶龙格-库塔法 196

6.2.6 步长的选择 199

6.3 线性多步法 200

6.3.1 一般形式 200

6.3.2 亚当斯格式 200

6.3.3 亚当斯预报-校正格式 202

6.3.4 误差修正法 203

6.4.1 误差分析 204

6.4 收敛性与稳定性 204

6.4.2 收敛性 205

6.4.3 稳定性 206

6.5 方程组与高阶微分方程 207

6.6 小结 210

习题六 211

附录A 部分练习题答案 214

附录B 相关定理 217

参考文献 219