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前言页 1

引论 1

1.数学解析及其重要性 1

1.“初等”及“高等”数学 1

2.量的概念·变量及函数依从关系 3

3.数学解析与现实 5

2.一些历史知识 9

4.俄国的伟大数学家：欧拉，罗巴契夫斯基，契伯雪夫 9

5.俄罗斯的大应用数学家：茹可夫斯基，贾普利金，克路洛夫 11

3.实数 12

6.实数·数轴 12

7.区间·绝对值 15

8.近似计算法 18

第一章 函数 21

1.函数及其给定法 21

9.函数概念 21

10.函数表示法 22

2.函数的记号及分类 26

11.记号 26

12.复合函数概念·初等函数 28

13.函数的分类 30

3.函数的最简研究法 34

14.函数的定义域及解析式子的定值域 34

15.函数性态的要素 37

16.从图形上来研究函数·函数的线性组合 41

4.一些最简单的函数 43

17.成正比的依从关系及线性函数·增量的概念 43

18.二次函数 47

19.成反比的依从关系及分式线性函数 49

5.反函数，幂函数，指数函数及对数函数 52

20.反函数概念 52

21.幂函数 56

22.指数函数及变曲线函数 58

23.对数函数 61

24.三角函数 63

6.三角函数及反三角函数 63

25.简单的及复杂的谐振荡 65

26.反三角函数 69

第二章 极限 72

1.基本定义 72

27.整标函数的极限 72

28.举例 74

29.连续宗量的函数的极限 77

2.无穷大量·极限运算法则 83

30.无穷大量·有界函数 83

84.曲边梯形的面积 84

31.无穷小量 88

32.极限运算法则 90

33.举例 95

34.极限存在的准则 97

35.函数的连续性 100

3.连续函数 100

36.函数的不连续点 102

37.连续函数的一般性质 107

38.施行于连续函数的运算·初等函数的连续性 111

4.无穷小的比较·一些值得注意的极限 114

39.无穷小的比较·等价无穷小 114

40.无穷小比值举例 117

41.数e·自然对数 120

1.导函数概念·函数的变化率 125

42.几个物理上的概念 125

第三章 导函数及微分·微分学 125

43.导函数 131

44.导数的几何解释 133

45.抛物线的几个性质 135

2.函数的微分法 138

46.对于算术运算结果的微分法 138

47.复合函数的微分法 142

48.基本初等函数的导数 145

49.对数微分法·反函数及隐函数的微分法 151

50.图解微分法 155

3.微分概念·函数的可微分性 156

51.微分及其几何意义 156

52.微分的性质 160

53.微分在近似计算法中的应用 163

54.函数的可微分性·曲线的滑溜度 166

80.曲率概念 167

55.函数对于(另一)函数而言的变化率·函数及曲线的参量表示法 170

4.作为变化率来看待的导数(其他的例子) 170

56.极坐标中矢径的变化率 176

57.曲线弧长的变化率 178

58.有极体的增长过程 180

5.累次微分法 182

59.高阶导函数 182

60.莱布尼兹公式 185

61.高阶微分 188

第四章 函数及曲线的研究 191

62.按“元素”作图法 191

1.函数“在一点处”的性态 191

63.函数“在一点处”的性态·极值 192

64.鉴定函数“在一点处”性态的准则 196

2.一阶导数的应用 199

65.洛勒定理及拉格偷日定理 199

66.拉格偷日公式在近似计算上的应用 203

67.函数在区间上的性态 205

68.举例 209

69.原函数的一个性质 215

3.二阶导数的应用 217

70.有极值的第二个充分准则 217

71.曲线的凹性及凹性·拐点 220

72.举例 224

4.补充问题·方程的解法 226

73.柯西定理及罗彼塔法则 226

74.函数的渐近变化情形及曲线的渐近线 236

75.研究函数的一般程序·举例 241

76.方程的解法·重根概念 245

77.多项式的台劳公式 252

5.台劳公式及其应用 252

78.台劳公式 255

79.台劳公式的一些应用·举例 258

6.曲率 267

81.曲率半径、曲率中心及曲率图 271

82.渐屈线及渐伸线 274

83.举例 277

第五章 定积分 280

1.定积分概念 280

85.物理学上的例子 286

86.定积分·存在定理 290

87.定积分计算法 295

2.定积分的基本性质 297

88.定积分的最简单的性质 297

89.积分区间的改变方向及分割·积分的几何意义 299

90.定积分的估值法 302

3.定积分的基本性质(续)·牛顿-莱布尼兹公式 307

91.中值定理·函数的中值 307

92.积分对其上限的导函数 311

93.牛顿-莱布尼兹公式 314

94.不定积分·基本积分表 319

第六章 不定积分·积分学 319

1.不定积分的概念及不定积分法 319

95.最简单的积分法则 321

96.举例 323

2.基本积分方法 328

97.分部积分 328

98.变量的置换 332

3.可积分函数的基本类型 337

99.分式有理函数 337

100.举例 343

101.奥氏法 348

102.几种无理函数的积分法 351

103.三角函数的积分法 356

104.x及？ax2+bx+c的有理函数 360

105.总的说明 363

第七章 定积分的计算方法·旁义积分 366

1.积分计算法 366

106.用分部积分法算定积分 366

107.定积分中的变量置换法 368

2.近似积分法 373

108.数值积分法 373

109.图解积分法 380

110.积分限为无穷大时的积分 382

3.旁义积分 382

111.无穷型积分限旁义积分的收敛及发散准则 386

112.无穷型不连续函数的积分 390

113.不连续函数的积分收敛或发散的准则 394

第八章 积分的应用 398

1.一些最简单的问题及其解法 398

114.“元素相加”法 398

115.“微分方程”法·用积分解题程序 401

116.举例 404

2.几何学及静力学上的一些问题·有机增长过程 409

117.图形面积 409

118.曲线长度 412

119.体积 417

120.旋转曲面的面积 421

121.重心及古尔琴定理 423

122.有极增长过程 429

第九章 级数 432

1.数项级数 432

123.级数概念·收敛性 432

124.正项级数·收敛的充分准则 436

125.任意项级数·绝对收敛 444

126.施行于级数的运算 447

127.定义·均匀收敛 450

2.函数项级数 450

128.函数项级数的积分法及微分法 455

3.幂级数 458

129.台劳级数 458

130.举例 460

131.收敛区间及收敛半径 463

132.幂级数的一般属性 467

4.幂级数(续) 470

133.把函数展成台劳级数的其他方法 470

134.台劳级数的几种用法 475

135.复变量函数·欧拉公式 481