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第一章 行列式·消元法 1

1.1 行列式概念 1

习题1.1 5

1.2 行列式性质 6

习题1.2 11

1.3 行列式展开定理 12

一、按一行(列)展开公式 12

二、Laplace定理 15

习题1.3 19

1.4 Cramer法则 21

一、线性方程组概念 21

二、Cramer法则 22

习题1.4 26

1.5消元法 26

一、初等变换 26

二、矩阵的秩及等价标准形 30

三、消元法 34

习题1.5 37

第二章 几何向量及其应用 39

2.1 几何向量及其线性运算 39

一、几何向量的概念 39

二、向量的线性运算 40

三、共线向量与共面向量 43

四、空间坐标系 45

习题2.1 48

2.2 向量的标量积、向量积及混合积 49

一、向量的标量积 49

二、向量的向量积 52

三、向量的混合积 55

习题2.2 57

2.3 空间平面和直线 58

一、平面的方程 58

二、直线的方程 60

三、平面、直线和点的相对位置 62

习题2.3 65

第三章 线性空间·欧氏空间 67

3.1 线性空间的概念与基本性质 67

一、数域 67

二、向量及其线性运算 67

三、矩阵的线性运算与转置 69

四、线性空间的概念 70

五、线性空间的基本性质 72

六、线性子空间 73

习题3.1 74

3.2 向量组的线性关系 74

一、向量组的线性相关性 74

二、线性相关性判别定理 77

三、向量组的秩与极大无关组 81

四、等价向量组 82

习题3.2 84

3.3 基、维数与坐标 85

一、基与维数 85

二、生成子空间 86

三、向量的坐标 88

习题3.3 90

3.4 子空间的交与和、直和 91

一、子空间的交与和 91

二、子空间的直和 94

习题3.4 96

3.5 欧氏空间 97

一、欧氏空间的概念 97

二、规范正交基 100

三、正交子空间 103

习题3.5 106

第四章 线性映射与矩阵 107

4.1 线性映射的概念与基本性质 107

一、映射 107

二、线性映射的概念 109

三、线性映射的基本性质 112

习题4.1 113

4.2 线性映射的值域、核及运算 114

一、线性映射的值域与核 114

二、线性映射的运算 116

习题4.2 119

4.3 线性映射的矩阵·矩阵乘法 119

一、线性映射的矩阵 120

二、矩阵的乘法 125

三、方阵的幂 129

习题4.3 130

4.4 逆线性映射与逆矩阵 131

一、逆矩阵的概念与性质 131

二、求逆矩阵的公式法 133

三、求逆矩阵的初等变换法 137

四、基变换与坐标变换 142

习题4.4 145

4.5 分块矩阵 147

一、分块矩阵的概念及运算 147

二、分块对角矩阵 150

三、分块初等矩阵及其应用 151

习题4.5 153

第五章 线性方程组 154

5.1 线性方程组解的结构 154

一、齐次线性方程组 155

二、非齐次线性方程组 158

三、三个平面的相对位置 160

习题5.1 162

5.2 广义逆矩阵 163

一、广义逆矩阵的概念 163

二、广义逆矩阵A(1) 164

三、Moore-Penrose逆A+ 167

四、广义逆矩阵A+的应用 170

习题5.2 174

第六章 矩阵的相似变换 176

6.1 特征值与特征向量 176

一、特征值与特征向量 176

二、特征值与特征向量的性质 180

习题6.1 182

6.2 矩阵的相似变换 183

一、相似矩阵 184

二、相似对角化 185

三、Hamilton-Cayley定理 190

四、Jordan标准形介绍 192

五、不变子空间 202

习题6.2 204

6.3 正交变换与对称变换 205

一、正交矩阵与正交变换 205

二、对称变换与实对称矩阵 212

习题6.3 217

第七章 二次曲面与二次型 219

7.1 二次曲面 219

一、曲面及其方程 219

二、二次曲面 228

三、空间曲线 233

习题7.1 237

7.2 二次型 239

一、二次型及其矩阵表示 239

二、用可逆线性变换化二次型为标准形 242

三、惯性定理·正定二次型 247

四、用正交变换化二次型为标准形·主轴问题 255

习题7.2 259

7.3 双线性函数 261

一、线性与双线性函数 261

二、对称与反对称双线性函数 265

习题7.3 270

第八章 基本代数结构简介 272

8.1 代数运算 272

习题8.1 274

8.2 群及其基本性质 274

一、群的定义与例 274

二、群的基本性质 276

三、子群 278

习题8.2 280

8.3 环与域 280

一、环与子环 280

二、域和子域 282

习题8.3 283

习题答案与提示 285