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第八章 多元函数微分学 1

第一节 多元函数 1

一、区域 1

二、多元函数的概念 4

三、多元函数的极限 6

四、多元函数的连续性 10

习题8-1 12

第二节 多元函数的偏导数 13

一、偏导数的概念及计算 13

二、高阶偏导数 18

习题8-2 20

第三节 全微分与可微性 21

一、全微分的概念 21

二、连续性与可微性 偏导数与可微性 23

三、全微分的几何意义 26

四、全微分在近似计算中的应用 29

五、高阶全微分 30

习题8-3 32

第四节 多元复合函数的求导法则 33

一、链锁法则 33

二、复合函数一阶全微分形式的不变性 37

习题8-4 39

第五节 隐函数的求导公式 41

一、一个方程的情形 41

二、方程组的情形 44

习题8-5 49

第六节 方向导数与梯度 51

一、方向导数 51

二、梯度 54

习题8-6 57

第七节 二元函数的泰勒公式 58

一、皮亚诺余项的泰勒公式 58

二、拉格朗日余项的泰勒公式 61

习题8-7 65

总习题八 65

第九章 多元函数微分学的应用 69

第一节 多元函数微分学的几何应用 69

一、空间曲线的切线与法平面 69

二、曲面的切平面与法线 73

习题9-1 77

第二节 多元函数的极值问题 78

一、多元函数的极值及最大值、最小值 78

二、条件极值 拉格朗日乘数法 87

习题9-2 92

总习题九 93

第十章 重积分 95

第一节 二重积分的概念与性质 95

一、二重积分的概念 95

二、二重积分的性质 99

习题10-1 102

第二节 二重积分的计算法 103

一、利用直角坐标计算二重积分 103

二、利用极坐标计算二重积分 111

三、二重积分的一般变量替换 114

二、对面积的出面积分的计算法 118

习题10-2 118

一、曲面的面积 121

第三节 二重积分的应用 121

二、薄板的重心 123

三、薄板的转动惯量 125

四、引力 126

习题10-3 127

第四节 三重积分的概念及其计算法 127

一、三重积分的概念 127

二、利用直角坐标计算三重积分 128

三、利用柱面坐标计算三重积分 132

四、利用球面坐标计算三重积分 135

五、三重积分的变量替换 139

六、含参变量的积分 141

习题10-4 147

总习题十 149

第十一章 曲线积分与曲面积分 152

第一节 对弧长的曲线积分 152

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 152

二、对弧长的曲线积分的计算方法 154

习题11-1 156

第二节 对坐标的曲线积分 157

一、变力作功与对坐标的曲线积分的定义 157

二、对坐标的曲线积分的计算法 160

三、两类曲线积分的联系 164

习题11-2 165

第三节 曲线积分与路径无关的条件 166

一、格林公式 166

二、平面上曲线积分与路径无关的条件及牛顿-莱布尼茨公式 171

习题11-3 178

第四节 对面积的曲面积分 180

一、对面积的曲面积分的概念 180

习题11-4 184

一、对坐标的曲面积分的概念及性质 185

第五节 对坐标的曲面积分 185

二、对坐标的曲面积分的计算法 189

三、两类曲面积分的联系 193

习题11-5 194

第六节 高斯公式 195

习题11-6 201

第七节 斯托克斯公式 202

习题11-7 207

第八节 空间曲线积分与路径无关的条件 208

习题11-8 211

一、场的概念 212

第九节 场论初步 212

二、向量场的通量与散度 213

三、向量场的环境量与旋度 216

四、算子？ 219

习题11-9 221

总习题十一 222

第十二章 无穷级数 225

第一节 常数项级数的概念及其本性质 225

一、常数项级数的概念 225

二、常数项级数的基本性质及其收敛的必要条件 229

习题12-1 233

一、正项级数部分和有上界判敛法 235

第二节 正项级数敛散性的判别法 235

二、比较判别法及其极限形式 237

三、达朗贝尔比值判别法与柯西根值判别法 241

四、积分判别法 246

五、拉阿伯判别法 248

六、斯特林公式的极限形式及其应用 250

习题12-2 250

第三节 任意项级数 253

一、交错级数及其收敛性的莱布尼茨判别法 253

二、任意项级数的绝对收敛和条件收敛 256

习题11-3 261

三、级数的柯西收剑准则 261

第四节 函数项级数与幂级数 262

一、函数项级数 262

二、幂级数的收敛半径与收敛域 264

三、幂级数的性质与级数的求和 271

习题12-4 276

第五节 泰勒级数 277

一、泰勒级数 277

二、泰勒级数的应用 287

习题*12-5 294

一、函数项级数的一致收敛性与判别法 296

第六节 函数项级数的一致收敛性 296

二、一致收敛级数的基本性质 297

习题*12-6 301

第七节 傅立叶级数 301

一、三角级数 301

二、三角函数系的正交性 302

三、周期为2l的傅立叶级数及其狄利克雷收敛定理 303

四、将只在[0，l]上有定义的函数展成正弦或余弦级数 311

五、傅里叶级数的复数形式与非周期函数的积分展开形式 315

习题12-7 321

总习题十二 322

第十三章 常微分方程 324

第一节 一般概念 324

一、引例 324

二、基本定义 326

习题13-1 328

第二节 一阶微分方程 329

一、可分离变量的微分方程 329

二、齐次微分方程 332

三、一阶线性微分方程 338

习题*13-2 343

一、y(n)=f(x)型的微分方程(类型1) 345

第三节 高阶微分方程的可降阶类型 345

二、y =f(x,y )型的微分方程(类型2) 347

三、y =f(y,y )型的微分方程(类型3) 350

习题13-3 351

第四节 高阶线性微分方程及其解的结构 352

一、n阶线性微分方程通解的结构 352

二、二阶线性微分方程的一些重要定理 356

习题13-4 358

第五节 常系数性微分方程 359

一、二阶常系数线性方程的实例 359

二、二阶常系数线性齐次方程通解的求法 362

三、n阶常系数线性齐次方程通解的求法 364

四、二阶常系数线性非齐次方程 365

五、应用问题举例 374

六、欧拉方程 376

习题13-5 379

第六节 微分方程的有关补充知识 381

一、全微分方程与积分因子 381

二、二阶线性非齐次微分方程解的一般公式 386

三、常系数线性微分方程组求解举例 388

习题13-6 390

总习题十三 391

习题答案与提示 393