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第1章　线性空间 1

第2章　线性映射 7

2.1　线性映射生成的代数 7

2.2　线性映射的指标 10

第3章 Hahn-Banach定理 16

3.1　延拓定理 16

3.2　Hahn-Banach定理的几何形式 17

3.3　Hahn-Banach定理的延拓 20

第4章 Hahn-Banach定理的应用 24

4.1　正线性泛函的延拓 24

4.2　Banach极限 25

4.3　有限可加的不变集函数 27

第5章　赋范线性空间 29

5.1　范数 29

5.2　单位球的非紧性 34

5.3　等距 37

第6章 Hilbert空间 42

6.1　内积 42

6.2 闭凸集中的最佳逼近点 44

6.3　线性泛函 45

6.4　线性张 47

第7章 Hilbert空间结果的应用 51

7.1　Radon-Nikodym定理 51

7.2　Dirichlet问题 52

第8章　赋范线性空间的对偶 59

8.1　有界线性泛函 59

8.2　有界线性泛函的延拓 60

8.3　自反空间 63

8.4　集合的支撑函数 67

第9章　对偶性的应用 71

9.1　加权幂的完备性 71

9.2　Müntz逼近定理 72

9.3　Runge定理 74

9.4　函数论中的对偶变分问题 75

9.5　Green函数的存在性 77

第10章　弱收敛 81

10.1 弱收敛序列的一致有界性 82

10.2　弱序列紧性 85

10.3　弱＊收敛 86

第11章　弱收敛的应用 88

11.1　用连续函数逼近δ函数 88

11.2　傅里叶级数的发散性 89

11.3　近似求积分 90

11.4 向量值函数的弱解析性和强解析性 90

11.5　偏微分方程解的存在性 91

11.6　具有正实部的解析函数的表示 94

第12章　弱拓扑和弱＊拓扑 96

第13章 局部凸空间拓扑和Krein-Milman定理 100

13.1　通过线性泛函分离点 101

13.2　Krein-Milman定理 102

13.3　Stone-Weierstrass定理 103

13.4　Choquet定理 104

第14章 凸集及其极值点的例子 109

14.1　正线性泛函 109

14.2　凸函数 110

14.3　完全单调函数 112

14.4　Carathéodory和Bochner定理 116

14.5　Krein的一个定理 120

14.6　正调和函数 121

14.7　Hamburger矩问题 122

14.8　G.Birkhoff猜测 123

14.9　De Finetti定理 127

14.10　保测映射 128

第15章　有界线性映射 131

15.1　有界性和连续性 131

15.2　强拓扑和弱拓扑 135

15.3　一致有界原理 136

15.4　有界线性映射的复合 137

15.5 开映射原理 137

第16章　有界线性映射的例子 142

16.1　积分算子的有界性 142

16.2　Marcel Riesz凸性定理 145

16.3　有界积分算子的例子 147

16.4　双曲方程的解算子 152

16.5　热传导方程的解算子 153

16.6　奇异积分算子，拟微分算子和Fourier积分算子 156

第17章　Banach代数及其基本谱理论 157

17.1　赋范代数 157

17.2　函数演算 161

第18章　交换Banach代数的Gelfand理论 165

第19章　交换Banach代数的Gelfand理论的应用 171

19.1　代数C(S) 171

19.2　Gelfand紧化 171

19.3　绝对收敛的Fourier级数 172

19.4 闭单位圆盘上的解析函数 173

19.5　开单位圆盘内的解析函数 174

19.6　Wiener的陶伯定理 175

19.7　交换的B＊代数 180

第20章　算子及其谱的例子 184

20.1　可逆映射 184

20.2　移位 186

20.3　Volterra积分算子 187

20.4　Fourier变换 188

第21章　紧映射 189

21.1　紧映射的基本性质 189

21.2　紧映射的谱理论 193

第22章　紧算子的例子 199

22.1　紧性的判别准则 199

22.2　积分算子 200

22.3　椭圆偏微分算子的逆 202

22.4 由抛物型方程定义的算子 203

22.5　殆正交基 204

第23章　正的紧算子 206

23.1　正的紧算子的谱 206

23.2　随机积分算子 208

23.3　二阶椭圆算子的逆 210

第24章　积分方程的Fredholm理论 212

24.1　Fredholm行列式和Fredholm预解式 212

24.2　Fredholm行列式的乘法性质 219

24.3 Gelfand-Levian-Marchenko方程和Dyson的公式 221

第25章　不变子空间 225

25.1　紧算子的不变子空间 225

25.2　不变子空间套 227

第26章　射线上的调和分析 233

26.1　调和函数的Phragmén-Lindel？f原理 233

26.2　抽象Phragmén-Lindel？f原理 234

26.3　渐进展开 243

第27章　指标理论 246

27.1　Noether指标 246

27.2 Toeplitz算子 250

27.3 Hankel算子 256

第28章 Hilbert空间上的紧对称算子 259

第29章 紧对称算子的例子 266

29.1 卷积 266

29.2 一个微分算子的逆 268

29.3 偏微分算子的逆 269

第30章 迹类和迹公式 271

30.1 极分解与奇异值 271

30.2 迹类，迹范数，迹 272

30.3 迹公式 275

30.4 行列式 281

30.5　迹类算子的例子和反例 282

30.6　Poisson和公式 287

30.7　如何将算子的指标表示成迹的差 288

30.8　Hilbert-Schmidt类 290

30.9　Banach空间上的算子的迹和行列式 291

第31章　对称算子、正规算子和酉算子的谱理论 293

31.1　对称算子的谱 294

31.2　对称算子的函数演算 296

31.3　对称算子的谱分解 298

31.4　绝对连续谱、奇异谱和点谱 300

31.5　对称算子的谱表示 301

31.6　正规算子的谱分解 305

31.7　酉算子的谱分解 306

第32章 自伴算子的谱理论 311

32.1　谱分解 311

32.2　利用Cayley变换构造谱分解 320

32.3 自伴算子的函数演算 321

第33章 自伴算子的例子 325

33.1　无界对称算子的延拓 325

33.2　对称算子延拓的例子，亏指数 327

33.3　Friedrichs延拓 331

33.4　Rellich扰动定理 334

33.5　矩问题 337

第34章　算子半群 343

34.1　强连续的单参数半群 344

34.2　半群的构造 349

34.3　半群的逼近 352

34.4　半群的扰动 356

34.5　半群的谱理论 358

第35章　酉算子群 363

35.1　Stone定理 363

35.2　遍历理论 365

35.3　Koopman群 367

35.4　波动方程 369

35.5　平移表示 370

35.6　Heisenberg交换关系 376

第36章　强连续算子半群的例子 382

36.1 由抛物型方程定义的半群 382

36.2 由椭圆型方程定义的半群 382

36.3　半群的指数型衰减 386

36.4　Lax-Phillips半群 390

36.5　障隘外部的波动方程 391

第37章　散射理论 395

37.1　扰动理论 395

37.2　波算子 397

37.3　波算子的存在性 399

37.4　波算子的不变性 406

37.5　位势散射 406

37.6　散射算子 407

37.7　Lax-Phillips散射理论 408

37.8　散射矩阵的零点 414

37.9　自守波动方程 415

第38章　Beurling定理 426

38.1　Hardy空间 426

38.2　Beurling定理 427

38.3　Titchmarsh卷积定理 434

附录A　Riesz-Kakutani表示定理 439

A.1　正线性泛函 439

A.2　体积 442

A.3　函数空间L 444

A.4　可测集和测度 446

A.5　Lebesgue测度和积分 450

附录B　广义函数理论 451

B.1　定义和例子 451

B.2　广义函数的运算 452

B.3　广义函数的局部性质 454

B.4　在偏微分方程中的应用 460

B.5　Fourier变换 464

B.6　Fourier变换的应用 472

B.7　Fourier级数 473

附录C　Zorn引理 475

关键词索引 476