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第一章 集合与函数 1

第一节 集合与实数集 1

1.1 集合及其运算 1

1.2 实数的性质 4

1.3 区间与邻域 7

1.4 确界与确界原理 7

习题1.1 9

第二节 映射与函数 12

2.1 映射 12

2.2 一元函数概念 13

2.3 复合函数 15

2.4 反函数 18

2.5 多元函数概念 19

习题1.2 20

第三节 函数的几种特性与初等函数 22

3.1 函数的几种特性 22

3.2 初等函数 23

3.3 初等函数数学模型 27

习题1.3 31

总习题(一) 34

1.1 自变量趋于有限值时函数的极限 37

第一节 函数极限的概念 37

第二章 极限与连续 37

1.2 单侧极限 42

1.3 自变量无限增大时函数的极限 43

1.4 数列极限 45

1.5 函数值趋于无穷的情形 47

习题21 49

第二节 函数极限的性质 51

2.1 极限运算法则 51

2.2 渐近线 56

2.3 极限的基本性质 59

2.4 两个重要极限 60

2.5 关于极限的定理的严格证明 64

习题2.2 70

第三节 无穷小与无穷大 72

3.1 无穷小 73

3.2 无穷小的比较 73

3.3 无穷大 77

习题2.3 79

第四节 连续与间断 80

4.1 函数的连续性 80

4.2 函数的间断点 84

习题2.4 87

第五节 连续函数的性质 88

5.1 连续函数的运算 88

5.2 初等函数的连续性 90

5.3 有界闭区间上连续函数的性质 92

5.4 函数的一致连续性 95

习题2.5 97

总习题(二) 99

第三章 导数与微分 103

第一节 导数概念 103

1.1 导数的定义 103

1.2 导数的几何意义 109

习题3.1 113

第二节 求导法则 115

2.1 函数和、差、积、商的导数 116

2.2 复合函数的导数 118

2.3 反函数的导数 121

2.4 高阶导数 123

习题3.2 129

第三节 隐函数的导数和参数式求导 131

3.1 隐函数的导数 131

3.2 参数式求导 134

3.3 极坐标式求导 137

3.4 相关变化率 139

习题3.3 141

第四节 微分 143

4.1 局部线性化与微分 143

4.2 微分的运算法则 146

4.3 高阶微分 148

4.4 误差估计 149

习题3.4 151

总习题(三) 152

1.1 极值概念与费马定理 155

第一节 微分中值定理 155

第四章 微分中值定理与导数的应用 155

1.2 微分中值定理 158

1.3 洛必达法则 164

习题4.1 167

第二节 泰勒公式 171

2.1 泰勒公式 172

2.2 几个基本初等函数的麦克劳林公式 176

习题4.2 181

第三节 函数性态的研究 182

3.1 函数的单调性 182

3.2 函数极值的判定 185

3.3 函数的凹凸性 187

习题4.3 193

第四节 最优化问题数学模型 196

习题4.4 203

总习题(四) 205

第五章 定积分与积分法 209

第一节 定积分的概念与性质 209

1.1 定积分的定义 209

1.2 可积函数类 215

1.3 定积分的基本性质 216

习题5.1 221

第二节 微积分基本定理 223

2.1 牛顿—莱布尼兹公式 223

2.2 变限的定积分与原函数的存在性 225

习题5.2 228

第三节 不定积分 229

3.1 不定积分的概念和性质 229

3.2 基本积分表 232

习题5.3 234

第四节 换元积分法 236

4.1 第一换元法 236

4.2 第二换元法 240

4.3 定积分的换元法 243

习题5.4 247

第五节 分部积分法 249

5.1 不定积分的分部积分法 249

5.2 定积分的分部积分法 252

习题5.5 255

第六节 广义积分 257

6.1 无穷区间上的广义积分 258

6.2 无界函数的广义积分 260

6.3 Γ函数与B-函数 263

习题5.6 265

总习题(五) 266

第六章 定积分的应用 271

第一节 定积分在几何上的应用 271

1.1 微元法 271

1.2 平面图形的面积 272

1.3 由已知平面截面面积求体积 274

1.4 旋转体的体积 275

1.5 光滑平面曲线的弧长与曲率 277

1.6 旋转体的侧面积 281

习题6.1 283

2.1 变力作功 285

第二节 定积分在物理上的应用 285

2.2 质心 286

2.3 引力 289

2.4 液体的静压力 290

习题6.2 292

第三节 定积分在经济学中的应用 293

习题6.3 297

总习题(六) 298

第七章 微分方程 301

第一节 微分方程的基本概念 301

习题7.1 305

第二节 变量可分离方程及齐次方程 306

2.1 变量可分离方程 307

2.2 齐次方程 309

2.3 增长与衰减模型 312

习题7.2 316

第三节 一阶线性微分方程 318

3.1 线性齐次方程 319

3.2 线性非齐次方程 319

3.3 伯努利方程 322

习题7.3 325

第四节 可降阶的高阶方程 326

习题7.4 333

第五节 二阶微分方程 334

5.1 振动与二阶微分方程 334

5.2 合理猜测法 337

5.3 二阶线性微分方程解的结构 340

5.4 常数变易法 346

习题7.5 349

第六节 二阶常系数线性微分方程 351

6.1 常系数线性齐次方程 351

6.2 常系数线性非齐次微分方程 357

6.3 欧拉方程 363

习题7.6 364

第七节 微分方程组 366

7.1 微分方程组的基本概念 367

7.2 常系数线性微分方程组解法举例 369

习题7.7 371

总习题(七) 372

数学实验 375

实验一 方程近似解的求法 375

实验二 定积分的近似计算 380

附录一 Mathematica数学软件简介 386

附录二 积分表 393

习题答案与提示 405