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第五章 多元函数微分学及其应用 1

第一节 n维Euclid空间点集拓扑初步 1

1．1 n维Euclid空间R~n 1

1．2 R~n中点列的极限 2

1．3 R~n中的开集与闭集 4

1．4 R~n中的紧集与区域 9

习题5．1 10

第二节 多元函数的极限与连续性 11

2．1 多元函数的概念 11

2．2 多元函数的极限与连续性 13

2．3 多元连续函数的性质 17

习题5．2 18

第三节 多元数量值函数的导数与微分 20

3．1 方向导数与偏导数 20

3．2 全微分 25

3．3 梯度及其与方向导数的关系 33

3．4 高阶偏导数和高阶全微分 37

3．5 多元复合函数的偏导数和全微分 39

3．6 由一个方程确定的隐函数的微分法 46

习题5．3 48

第四节 多元函数的Taylor公式与极值问题 51

4．1 多元函数的Taylor公式 52

4．2 无约束极值，最大值与最小值 55

4．3 有约束极值，Lagrange乘数法 65

习题5．4 68

5．1 向量值函数的方向导数与偏导数 69

第五节 多元向量值函数的导数与微分 69

5．2 向量值函数的导数与微分 71

5．3 微分运算法则 75

5．4 由方程组所确定的隐函数的微分法 77

习题5．5 82

第六节 多元函数微分学在几何上的简单应用 83

6．1 空间曲线的切线与法平面 83

6．2 弧长 89

6．3 曲面的切平面与法线 93

习题5．6 101

第七节 空间曲线的曲率与挠率 103

7．1 Frenet标架 103

7．2 曲率 107

7．3 挠率 115

7．4 Frenet公式 118

习题5．7 119

综合练习题 120

第六章 多元函数积分学及其应用 121

第一节 多元数量值函数积分的概念与性质 121

1．1 物体质量的计算 121

1．2 多元数量值函数积分的概念 123

1．3 积分存在的条件和性质 126

习题6．1 127

第二节 二重积分的计算 127

2．1 二重积分的几何意义 127

2．2 直角坐标系下二重积分的计算法 128

2．3 极坐标系下二重积分的计算法 135

2．4 曲线坐标下二重积分的计算法 140

习题6．2 145

第三节 三重积分的计算 148

3．1 化三重积分为单积分与二重积分的累次积分 148

3．2 柱面与球面坐标下三重积分的计算法 152

习题6．3 161

第四节 重积分的应用 162

4．1 重积分的微元法 163

4．2 应用举例 166

习题6．4 170

第五节 含参变量的积分与反常重积分 171

5．1 含参变量的积分 171

5．2 含参变量的反常积分 175

5．3 反常重积分 178

习题6．5 181

6．1 第一型线积分 182

第六节 第一型线积分与面积分 182

6．2 第一型面积分 186

习题6．6 191

第七节 第二型线积分与面积分 193

7．1 场的概念 194

7．2 第二型线积分 196

7．3 第二型面积分 202

习题6．7 210

第八节 各种积分的联系及其在场论中的应用 213

8．1 Green公式 213

8．2 平面线积分与路径无关的条件 218

8．3 Stokes公式与旋度 226

8．4 Gauss公式与散度 232

8．5 几种重要的特殊向量场 239

习题6．8 245

综合练习题 247

1．1 微分方程与微分方程组 249

第一节 常微分方程的基本知识 249

第七章 常微分方程 249

1．2 微分方程及其解的几何解释 254

1．3 可积组合与首次积分 257

习题7．1 264

第二节 线性微分方程组 265

2．1 齐次线性微分方程组 266

2．2 非齐次线性微分方程组 271

习题7．2 275

第三节 常系数线性微分方程组 276

3．1 常系数齐次线性微分方程组的求解 277

3．2 常系数非齐次线性微分方程组的求解 286

习题7．3 294

第四节 高阶线性微分方程 295

4．1 高阶线性微分方程解的结构 296

4．2 高阶常系数线性微分方程的求解 297

4．3 高阶变系数线性微分方程的求解问题 310

习题7．4 314

第五节 微分方程的定性分析方法初步 316

5．1 自治系统与非自治系统 316

5．2 稳定性的基本概念 318

5．3 判定稳定性的Liapunov函数法 320

5．4 由线性近似系统判定稳定性 326

习题7．5 339

综合练习题 340

第八章 无限维分析入门 342

第一节 从有限维空间到无限维空间 342

1．1 多维空间概念的现实基础 342

1．2 为什么要研究无限维空间 344

1．3 数学中空间概念的含义 347

第二节 赋范线性空间与压缩映射原理 348

2．1 内积空间 348

2．2 赋范线性空间 351

2．3 赋范线性空间的收敛性与拓扑结构 354

2．4 空间的完备性 358

2．5 压缩映射原理及其应用 361

习题8．2 365

第三节 Lebesgue积分与L~p([a，b])空间 367

3．1 从R积分到L积分 367

3．2 点集的Lebesgue测度与可测函数 369

3．3 Lebesgue积分 374

3．4 L~p([a，b])空间 380

习题8．3 382

第四节 Hilbert空间与最佳逼近问题 383

4．1 正交投影与正交分解 383

4．2 最佳逼近问题 387

4．3 Hilbert空间的正交系与Fourier展开 390

4．4 L~2([a，b])空间的Fourier展开与最佳均方逼近 394

习题8．4 397

习题答案与提示 398

参考文献 420