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第一章 线性空间与内积空间 1

1.1 预备知识：集合、映射与数域 1

1.1.1 集合及其运算 1

1.1.2 二元关系与等价关系 2

1.1.3 映射 3

1.1.4 数域与代数运算 6

1.2 线性空间 7

1.2.1 线性空间及其基本性质 7

1.2.2 向量的线性相关性 9

1.2.3 线性空间的维数 12

1.3 基与坐标 13

1.4 线性子空间 17

1.4.1 线性子空间的概念 17

1.4.2 子空间的交与和 20

1.4.3 子空间的直和 23

1.5 线性空间的同构 24

1.6 内积空间 27

1.6.1 内积空间及其基本性质 27

1.6.2 标准正交基与Gram-Schmidt正交化方法 32

1.6.3 正交补与投影定理 35

习题 41

第二章 线性映射与线性变换 45

2.1 线性映射及其矩阵表示 45

2.1.1 线性映射的定义及其性质 45

2.1.2 线性映射的运算 48

2.1.3 线性映射的矩阵表示 50

2.2 线性映射的值域与核 55

2.3 线性变换 57

2.4 特征值和特征向量 60

2.5 矩阵的相似对角形 68

2.6 线性变换的不变子空间 70

2.7 酉(正交)变换与酉(正交)矩阵 75

习题 77

第三章 λ矩阵与矩阵的Jordan标准形 82

3.1 一元多项式 82

3.2 λ矩阵及其在相抵下的标准形 85

3.2.1 λ矩阵的基本概念 85

3.2.2 λ矩阵的初等变换与相抵 87

3.2.3 λ矩阵在相抵下的标准形 89

3.3 λ矩阵的行列式因子和初等因子 93

3.4 矩阵相似的条件 102

3.5 矩阵的Jordan标准形 104

3.6 Cayley-Hamilton定理与最小多项式 110

习题 114

第四章 矩阵的因子分解 117

4.1 初等矩阵 117

4.1.1 初等矩阵 117

4.1.2 初等下三角矩阵 118

4.1.3 Housebolder矩阵 119

4.2 满秩分解 120

4.3 三角分解 125

4.4 QR分解 130

4.5 Schur定理与正规矩阵 133

4.6 奇异值分解 139

习题 142

第五章 Hermite矩阵与正定矩阵 146

5.1 Hermite矩阵与Hermite二次型 146

5.1.1 Hermite矩阵 146

5.1.2 矩阵的惯性 147

5.1.3 Hermite二次型 149

5.2 Hermite正定(非负定)矩阵 151

5.3 矩阵不等式 159

5.4 Hermite矩阵的特征值 162

习题 166

第六章 范数与极限 169

6.1 向量范数 169

6.2 矩阵范数 175

6.2.1 基本概念 175

6.2.2 相容矩阵范数 176

6.2.3 算子范数 177

6.3 矩阵序列与矩阵级数 182

6.3.1 矩阵序列的极限 183

6.3.2 矩阵级数 185

6.4 矩阵扰动分析 189

6.4.1 矩阵逆的扰动分析 190

6.4.2 线性方程组解的扰动分析 192

6.4.3 矩阵特征值的扰动分析 193

习题 198

第七章 矩阵函数与矩阵值函数 201

7.1 矩阵函数 201

7.1.1 矩阵函数的幂级数表示 201

7.1.2 矩阵函数的另一种定义 206

7.2 矩阵值函数 210

7.2.1 矩阵值函数 211

7.2.2 矩阵值函数的分析运算 212

7.3 矩阵值函数在微分方程组中的应用 217

7.4 特征对的灵敏度分析 222

习题 230

第八章 广义逆矩阵 233

8.1 广义逆矩阵的概念 233

8.2 广义逆矩阵A-与线性方程组的解 234

8.3 极小范数广义逆A？与线性方程组的极小范数解 236

8.4 最小二乘广义逆A？与矛盾方程线的最小二乘解 239

8.5 广义逆矩阵A+与线性方程组的极小最小二乘解 242

习题 246

第九章 Kronecker积与线性矩阵方程 248

9.1 矩阵的Kronecker积 248

9.2 矩阵的拉直与线性矩阵方程 252

9.2.1 矩阵的拉直 252

9.2.2 线性矩阵方程 253

9.3 矩阵方程AXB=C与矩阵最佳逼近问题 254

9.3.1 矩阵方程AXB=C 254

9.3.2 带约束的矩阵最佳逼近问题 256

9.4 矩阵方程AX=B的Hermite解与矩阵最佳逼近问题 258

9.5 矩阵方程AX+XB=C和X-AXB=C 262

9.5.1 矩阵方程AX+XB=C 262

9.5.2 矩阵方程X-AXB=C 263

习题 264

第十章 非负矩阵 266

10.1 非负矩阵与正矩阵 266

10.2 素矩阵与不可约非负矩阵 274

10.2.1 素矩阵 274

10.2.2 不可约非负矩阵 276

10.3 随机矩阵 278

10.4 M矩阵 282

习题 287

参考文献 289