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1·1 矩阵的定义 1

1·1·1 定义 1

第一章 矩阵 1

1·1·2 矩阵的相等 2

1·2 矩阵的和与纯量倍 3

1·2·1 矩阵的和 3

1·2·2 矩阵的纯量倍 4

1·3·1 定义 5

2·1B 5

1·3 矩阵的乘积 5

1·3·2 关于乘积的法则 7

1·4 转置矩阵 9

1·5 方阵 11

1·5·1 定义 11

1·5·2 纯量矩阵，对角矩阵，三角形矩阵 11

1·5·3 对称矩阵，斜对称矩阵 12

1·6 子矩阵，矩阵的分块 13

1·6·1 子矩阵 13

1·6·2 矩阵的分块 14

1·7·1 定义 17

1·7 一次变换 17

1·7·2 一次变换的线性性质 19

1·8 向量空间 23

1·8·1 定义 23

1·7·3 一次变换与矩阵的乘积 23

1·8·2 线性映射 25

1·8·3 同构 25

习题 1·A 26

1·B 27

第二章 联立一次方程组，行列式 29

2·1 向量的线性无关，线性相关 29

2·1·1 定义 29

2·1·2 重要定理* 31

2·2 子空间 34

2·2·1 子空间 34

2·2·2 维数 36

2·2·3 基底 37

2·3 矩阵的秩数 38

2·3·1 秩数的定义 38

2·3·2 不改变矩阵秩数的矩阵变形 38

2·3·3 行秩数与列秩数 42

2·4 联立一次方程组 43

2·4·1 用矩阵表示 43

2·4·2 齐次联立一次方程组 44

2·4·3 一般情况 48

习题 2·1A 50

2·5 行列式的定义 52

2·5·1 二阶行列式 52

2·5·2 排列 53

2·5·3 行列式的定义 55

2·6 行列式的性质 57

2·7 行列式的展开 64

2·8 行列式的乘积 69

2·9 逆矩阵 72

2·9·1 二阶的情况 72

2·9·2 n阶的情况 73

2·9·3 逆矩阵与行列式的数值计算 75

2·10 克兰姆公式 76

2·11 矩阵的秩数与行列式 79

2·11·1 秩数与子行列式 79

2·11·2 矩阵乘积的秩数 81

习题 2·2A 82

2·2B 83

第三章 几何向量 85

3·1 外积(向量积) 85

3·2 向量的线性无关与线性相关 89

3·3 平面与空间的坐标系 91

3·3·1 平面上的平行坐标系 91

3·4·2 空间的平行坐标系 93

3·3·4 球坐标 94

3·3·3 圆柱坐标 94

3·4·1 平面上的坐标变换 95

3·4 坐标变换 95

3·4·2 空间的坐标变换 99

3·5 直线的方程 100

3·6 平面的方程 103

3·7 关于直线与平面的量 106

习题 3·A 109

3·B 110

4·1·1 复数 112

第四章 特征值 112

4·1 复数矩阵 112

4·1·2 共轭矩阵，共轭转置矩阵 113

4·1·3 埃尔米特(Hermite)矩阵 113

4·1·4 酉矩阵 114

4·2 二次型，埃尔米特(Hermite)型 114

4·2·1 二次型 114

4·3 特征值，特征向量 117

4·2·2 埃尔米特(Hermite)型 117

4·4 内积，正规正交系 124

4·4·1 内积 124

4·4·2 正规正交系 126

4·4·3 酉矩阵，正交矩阵 129

4·5 矩阵的对角化 131

4·5·1 矩阵的对角化 131

4·5·2 正规矩阵 137

4·5·3 埃尔米特(Hermite)型，二次型的标准化 141

4·5·4 若当(Jordan)标准型 142

习题 4·A 146

4·B 147

第五章 二次曲线与二次曲面 149

5·1 几种二次曲面 149

5·1·1 椭球面 149

5·1·2 单叶双曲面 150

5·1·4 二次锥面 151

5·1·3 双叶双曲面 151

5·1·5 椭圆抛物面 153

5·1·6 双曲抛物面 154

5·1·7 柱面 154

5·2 二次曲线与二次曲面的分类 154

5·2·1 二次式的不变量 155

5·2·2 二次曲线、二次曲面的标准化 157

5·2·3 二次曲线的分类 157

5·2·4 二次曲面的分类 160

习题5 165

第六章 向量分析 168

6·1 向量函数的微分积分 168

6·1·1 单变量的向量函数的微分积分 168

6·1·2 二变量的向量函数的微分法 172

6·2 曲线，曲面与点的运动 173

6·2·1 空间曲线 173

6·2·2 弗雷内一塞雷(Frenet-Serret)公式 176

6·2·3 点的运动 177

6·2·4 曲面 178

6·3 线积分 180

6·4 面积分 184

6·5 纯量场与向量场 190

6·5·1 纯量场的梯度 190

6·5·2 向量场的散度 194

6·5·3 向量场的旋度 195

6·5·4 关于梯度，散度，旋度的公式 196

6·6 积分定理 200

6·6·1 平面上的格林(Green)定理 200

6·6·2 斯托克斯(Stokes)定理 203

6·6·3 具有标量位的条件 207

6·6·4 高斯(Gauss)散度定理 212

习题6 216

习题答案 218

索引 224