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篇要 微积分解题的四种思维定式 1

第一篇 微积分 6

第一章 函数·极限·连续 6

1.1 函数 6

一、函数的定义 6

二、函数的定义域的求法 7

三、函数的基本性质 8

四、分段函数 12

五、初等函数 13

1.2 函数的极限及其连续性 17

一、概念 17

二、重要定理与公式 19

1.3 极限的求法 26

一、未定式的定值法 26

二、类未定式 30

三、数列的极限 31

四、极限式中常数的确定（重点） 36

五、杂例 39

习题一 42

第二章 导数与微分 46

2.1 定义·定理·公式 46

一、导数与微分的定义 46

二、定理 48

三、导数与微分的运算法则 48

四、基本公式 49

2.2 各类函数导数的求法 49

一、复合函数微分法 49

二、参数方程微分法 50

三、隐函数微分法 52

四、幂指函数微分法 53

五、函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法 53

六、分段函数微分法 54

2.3 高阶导数 55

一、定义与基本公式 55

二、高阶导数的求法 56

习题二 59

第三章 不定积分 62

3.1 不定积分的概念与性质 62

一、不定积分的概念 62

二、基本性质 62

三、基本公式 63

3.2 基本积分法 64

一、第一换元积分法（也称凑微分法） 64

二、第二换元积分法 68

三、分部积分法 72

3.3 各类函数积分的技巧及分析 77

一、有理函数的积分 77

二、简单无理函数的积分 78

三、三角有理式的积分 80

四、含有反三角函数的不定积分 83

五、抽象函数的不定积分 84

六、分段函数的不定积分 85

习题三 86

第四章 定积分及反常积分 89

4.1 定积分性质及有关定理与公式 89

一、基本性质 89

二、定理与公式 92

4.2 定积分的计算法 96

一、牛顿—莱布尼茨公式 96

二、定积分的换元积分法 96

三、定积分的分部积分法 98

4.3 特殊形式的定积分计算 99

一、分段函数的积分 99

二、被积函数带有绝对值符号的积分 101

三、被积函数中含有“变限积分”的积分 102

四、对称区间上的积分 104

五、被积函数的分母为两项，而分子为其中一项的积分 105

六、由三角有理式与其他初等函数通过四则或复合而成的函数的积分 106

七、杂例 107

4.4 定积分有关命题证明的技巧 109

一、定积分等式的证明 109

二、定积分不等式的证明 117

习题四（1） 123

4.5 反常积分 125

一、基本概念 125

二、题型归纳及思路提示 126

习题四（2） 127

第五章 中值定理的证明技巧 128

5.1 连续函数在闭区间上的性质 128

一、基本定理 128

二、有关闭区间上连续函数的命题的证法 128

习题五（1） 130

5.2 微分中值定理及泰勒公式 131

一、基本定理 131

二、泰勒公式 132

5.3 证题技巧分析 135

一、欲证结论：至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（n）（ξ）＝0的命题证法 135

二、欲证结论：至少？一点ξ∈（a，b），使得f（n）（ξ）＝k（≠0）及其代数式的证法 137

三、欲证结论：在（a，b）内至少？ξ，η，ξ≠η满足某种关系式的命题的证法 142

习题五（2） 143

第六章 一元微积分的应用 144

6.1 导数的应用 144

一、利用导数判别函数的单调增减性 144

二、利用导数研究函数的极值与最值 145

三、关于方程根的研究 151

四、函数作图 155

6.2 定积分的应用 159

一、微元法及其应用 159

二、平面图形的面积 160

三、立体体积 161

习题六 162

第七章 多元函数微分学 165

7.1 概念、定理与公式 165

一、二元函数的定义 165

二、二元函数的极限及连续性 166

三、偏导数、全导数及全微分 167

四、基本定理 169

7.2 多元函数微分法 171

一、简单显函数u＝f（x，y，z）的微分法 171

二、复合函数微分法 172

三、隐函数微分法 175

7.3 多元函数的极值 178

一、概念、定理与公式 178

二、条件极值与无条件极值 178

习题七 182

第八章 二重积分 184

8.1 概念·性质 184

一、概念 184

二、性质 184

8.2 二重积分的解题技巧 186

一、？f（x，y）dσ的解题程序 186

二、直角坐标系中积分限的确定 187

三、极坐标系中积分限的确定 188

四、典型例题分析 188

习题八 200

第九章 无穷级数 202

9.1 基本概念及其性质 202

一、概念 202

二、基本性质 202

9.2 数项级数判敛法 203

一、正项级数∞ ∑ n=1un，（un≥0）敛散性的判别法 203

二、交错级数∞ ∑ n=1（-1）n-1un（un＞0）的判敛法 207

三、任意项级数 208

9.3 幂级数 210

9.4 无穷级数求和 216

一、幂级数函数求和 216

二、数项级数求和 219

习题九 223

第十章 常微分方程及差分方程简介 225

10.1 概念 225

10.2 一阶微分方程 225

一、变量可分离的微分方程 225

二、齐次方程 227

三、一阶线性微分方程 228

10.3 二阶线性微分方程 230

一、二阶线性微分方程解的结构定理 230

二、二阶常系数线性齐次方程通解的求法 231

三、二阶常系数线性非齐次方程特解的求法 232

四、二阶常系数线性非齐次方程通解的求法 236

10.4 差分方程 238

一、基本概念 238

二、一阶常系数线性差分方程的求解方法 238

习题十 241

第十一章 函数方程与不等式证明 243

11.1 函数方程 243

一、利用函数表示法与用何字母表示无关的“特性”求解方程 243

二、利用极限求解函数方程 243

三、利用导数的定义求解方程 244

四、利用变上限积分的可导性求解方程 245

五、利用连续函数的可积性及原函数的连续性求解 246

六、利用解微分方程的方法求解f（x） 246

11.2 不等式的证明 247

一、利用微分中值定理（重点） 247

二、利用函数的单调增减性（重点） 249

三、利用函数的极值与最值 250

四、利用函数图形的凹凸性 252

五、杂例 252

习题十一 253

第十二章 微积分在经济中的应用 256

12.1 一元微积分在经济中的应用 256

一、概念与公式 256

二、典型题例的解题思路分析 257

12.2 二元微分学在经济中的应用 262

习题十二 263

篇要 线代的八种思维定式 264

第二篇 线性代数 268

第一章 行列式 268

1.1 行列式的概念 268

一、排列与逆序 268

二、n阶行列式的定义 269

1.2 性质、定理与公式 270

一、行列式的基本性质 270

二、行列式按行（列）展开定理 273

三、重要公式与结论 273

1.3 典型题型分析 274

题型一 抽象行列式的计算 274

题型二 低阶行列式的计算 275

题型三 n阶行列式的计算 277

1.4 杂例 282

习题一 284

第二章 矩阵 286

2.1 矩阵的概念与运算 286

一、矩阵的概念 286

二、矩阵的运算 286

2.2 逆矩阵 289

一、逆矩阵的概念 289

二、利用伴随矩阵求逆矩阵 290

三、矩阵的初等变换与求逆 291

四、分块矩阵及其求逆 292

五、矩阵的秩及其求法 292

2.3 典型题型分析 292

题型一 求逆矩阵 292

题型二 求矩阵的高次幂Am 295

题型三 有关初等矩阵的命题 297

题型四 解矩阵方程 297

题型五 求矩阵的秩 299

题型六 关于矩阵对称、反对称命题的证明 301

题型七 关于方阵A可逆的证明 301

题型八 与A的伴随阵A有关联的命题的征明 302

题型九 关于矩阵秩的命题的证明 304

习题二 305

第三章 向量 310

3.1 基本概念 310

一、向量的概念与运算 310

二、向量间的线性关系 310

三、向量组的秩和矩阵的秩 311

四、向量空间 312

3.2 重要定理与公式 314

3.3 典型题型分析 315

题型一 讨论向量组的线性相关性 315

题型二 有关向量组线性相关性命题的证明 318

题型三 判定一个向量是否可由一组向量线性表示 324

题型四 有关向量组线性表示命题的证明 325

题型五 求向量组的极大线性无关组 327

题型六 有关向量组或矩阵秩的计算与证明 329

题型七 与向量空间有关的命题 333

习题三 335

第四章 线性方程组 338

4.1 概念、性质、定理 338

一、克莱姆法则 338

二、线性方程组的基本概念 338

三、线性方程组解的判定 339

四、非齐次组Ax＝b与齐次组Ax＝0解的关系 340

五、线性方程组解的性质 340

六、线性方程组解的结构 340

4.2 典型题型分析 341

题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构） 341

题型二 含有参数的线性方程组解的讨论 344

题型三 讨论两个方程组的公共解 349

题型四 有关基础解系的证明 351

题型五 综合题 352

习题四 357

第五章 特征值和特征向量 361

5.1 概念及其性质 361

一、矩阵的特征值和特征向量的概念 361

二、特征值与特征向量的计算方法 361

三、相似矩阵及其性质 362

四、矩阵可相似对角化的充要条件 362

五、对称矩阵及其性质 362

5.2 重要公式与结论 363

5.3 典型题型分析 364

题型一 求数值矩阵的特征值与特征向量 364

题型二 求抽象矩阵的特征值、特征向量 365

题型三 特征值、特征向量的逆问题 366

题型四 相似的判定及其逆问题 368

题型五 判断A是否可对角化 370

题型六 综合应用问题 372

题型七 有关特征值、特征向量的证明题 377

习题五 379

第六章 二次型 382

6.1 基本概念与定理 382

一、二次型及其矩阵表示 382

二、化二次型为标准型 382

三、用正交变换法化二次型为标准形 383

四、二次型和矩阵的正定性及其判别法 383

6.2 典型题型分析 386

题型一 考查二次型所对应的矩阵及其性质 386

题型二 化二次型为标准形 387

题型三 已知二次型通过正交变换化为标准形，反求参数 390

题型四 有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明 392

习题六 395

篇要 概率统计的九种思维定式 397

第三篇 概率论与数理统计第一章 随机事件和概率 402

1.1 基本概念、性质与公式 402

一、随机试验和随机事件 402

二、事件的关系及其运算 402

三、事件的概率及其性质 404

四、条件概率与事件的独立性 405

五、重要概型 407

六、重要公式 407

1.2 典型题型分析 408

题型一 古典概型与几何概型 408

题型二 事件的关系和概率性质的命题 411

题型三 条件概率与积事件概率的计算 413

题型四 全概率公式与Bayes公式的命题 414

题型五 有关Bernoulli概型的命题 417

习题一 419

第二章 随机变量及其分布 422

2.1 基本概念、性质与公式 422

一、概念与公式一览表 422

二、重要的一维分布 425

三、重要的二维分布 427

2.2 典型题型分析 428

题型一 一维随机变量及其分布的概念、性质的命题 428

题型二 求一维随机变量的分布律、概率密度或分布函数 431

题型三 求一维随机变量函数的分布 435

题型四 二维随机变量及其分布的概念、性质的考查 438

题型五 求二维随机变量的各种分布与随机变量独立性的讨论 440

题型六 求两个或多个随机变量的简单函数的分布 447

习题二 451

第三章 随机变量的数字特征 458

3.1 基本概念、性质与公式 458

一、一维随机变量的数字特征 458

二、二维随机变量的数字特征 460

三、几种重要的数学期望与方差 461

四、重要公式与结论 462

3.2 典型题型分析 462

题型一 求一维随机变量的数字特征 462

题型二 求一维随机变量函数的数学期望 466

题型三 求二维随机变量及其函数的数字特征 469

题型四 有关数字特征的证明题 479

题型五 应用题 480

习题三 482

第四章 大数定律和中心极限定理 486

4.1 基本概念与定理 486

一、切比雪夫不等式 486

二、中心极限定理 486

三、重要公式与结论 487

四、注意 487

4.2 典型题型分析 488

题型一 有关切比雪夫不等式与大数定律的命题 488

题型二 有关中心极限定理的命题 489

习题四 492

第五章 数理统计的基本概念 493

5.1 基本概念、性质与公式 493

一、几个基本概念 493

二、三个抽样分布——x2分布、t分布与F分布 494

三、正态总体下常用统计量的性质 494

四、重要公式与结论 495

5.2 典型题型分析 496

题型一 求统计量的数字特征或取值的概率、样本的容量 496

题型二 求统计量的分布 498

习题五 499

第六章 参数估计 502

6.1 基本概念、性质与公式 502

矩估计与最大似然估计 502

6.2 典型题型分析 503

求矩估计和最大似然估计 503

习题六 507