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第1章 量子态的描述 1

1．1 量子力学基本原理的回顾 1

1．1．1 波动-粒子两象性，波函数的统计诠释 1

1．1．2 力学量用算符描述，本征值与本征态，Heisenberg不确定度关系 4

1．1．3 量子态叠加原理，表象与表象变换 7

1．1．4 量子态随时间的演化，Schrodinger方程，定态 12

1．1．5 对Bohr互补性原理的理解 15

1．2 密度矩阵 16

1．2．1 密度算符与密度矩阵 17

1．2．2 混合态的密度矩阵 24

1．2．3 复合体系的子体系，约化密度矩阵 30

1．2．4 波函数统计诠释的进一步理解 32

1．3 纠缠态 35

1．3．1 自旋为1/2的二粒子的自旋纠缠态，Bell基 35

1．3．2 光子偏振态与双光子纠缠态 40

1．3．3 EPR(Einstein-Podolsky-Rosen)佯谬 43

1．3．4 Bell不等式与实验检验，定域性与隐变量 49

1．3．5 Schrodinger猫态及其在介观尺度上的实现 53

1．3．6 双缝干涉与“判断路径”(which way)实验 55

1．3．7 纠缠态在量子信息论中的应用 60

附录 量子不可克隆定理 63

1．4 量子态的测量，Wigner函数 65

第2章 量子力学与经典力学的关系 73

2．1 对应原理 73

附录 80

2．2 Poisson括号与正则量子化 84

附录 正则量子化程序中的问题 87

2．3 Schrodinger波动力学与经典力学的关系 96

2．3．1 Schrodinger波动方程与Jacobi-Hamilton方程的关系 96

2．3．2 Schrodinger波动方程提出的历史简述 98

2．3．3 Bohm的量子势观点 101

3．3．4 力学与光学的相似性 103

2．4 WKB准经典近似 105

2．4．1 WKB准经典近似波函数 105

2．4．2 势阱中粒子的准经典束缚态，Bohr-Sommerfeld量子化条件 108

2．4．3 势垒隧穿 111

数学附注 WKB波函数的连接公式 114

2．4．4 中心力场中粒子的准经典近似 120

2．5 谐振子的相干态 127

2．5．1 Schrodinger的谐振子相干态 127

2．5．2 湮没算符的本征态 131

2．5．3 谐振子相干态与Schrodinger猫态的Wigner函数 134

2．5．4 相干态的一般性质 137

2．5．5 谐振子的压缩相干态 143

附录 一些常用的代数式 146

2．6 Rydberg波包，波形的演化与恢复 151

附录 二维各向同性谐振子的相干态，能量和角动量结构 158

第3章 路径积分 170

3．1 传播子 171

3．2 路径积分的基本思想 176

3．3 路径积分的计算方法 180

3．4 Feynman路径积分理论与Schrodinger波动方程等价 184

3．4．1 从Feynman路径积分到Schrodinger波动方程 184

3．4．2 Feynman路径积分提出的历史简介 186

3．4．3 量子理论发展历史的反思 189

3．5 位形空间和相空间的路径积分 192

3．5．1 位形空间中的路径积分 193

3．5．2 相空间中的路径积分 195

附录 规范不变性 197

第4章 量子力学中的相位 206

4．1 AB(Aharonov—Bohm)效应 207

4．1．1 磁AB效应 208

附录 “标量AB效应” 209

4．1．2 电AB效应 209

4．2 重力相移 211

4．2．1 COW(Covella-Overhauser-Werner)实验与重力相移 211

4．2．2 弱等价原理，量子力学与广义相对论的矛盾 213

4．3 量子力学中的相位不定性 215

4．3．1 常数相位不定性 215

4．3．2 Lewis-Riesenfeld含时不变量，本征态的含时相位不定性 217

4．4 Berry相 221

4．4．1 Berry绝热相 221

4．4．2 AA(Aharonov—Anandan)相 228

4．4．3 量子态的自然联络 238

4．4．4 Berry相，AA相与Lewis相的关系 240

第5章 二次量子化 243

5．1 全同粒子系的量子态的描述 243

5．1．1 粒子数表象 243

5．1．2 产生算符与湮没算符，全同Bose子体系的量子态的描述 245

5．1．3 全同Fermi子体系的量子态的描述 248

5．2 Bose子体系的单体和二体算符的表示式 251

5．2．1 单体算符 252

5．2．2 二体算符 254

5．3 Fermi子体系的单体和二体算符的表示式 262

5．3．1 单体算符 264

5．3．2 二体算符 266

5．4 坐标表象与二次量子化 269

5．4．1 坐标表象 269

5．4．2 无相互作用Fermi气体 272

5．4．3 无相互作用无自旋粒子多体系 277

5．5 Hartree-Fock自洽场，独立粒子模型 279

附录1．正规乘积 287

2．缩并 288

3．Wick定理 288

5．6 对关联，BCS波函数，准粒子 289

第6章 角动量理论(续) 304

6．1 量子体系的有限转动 304

6．1．1 量子态的转动，转动算符 304

6．1．2 角动量本征态的转动，D函数 305

6．1．3 D函数与球谐函数的关系 311

6．1．4 D函数的积分公式 313

6．2 陀螺的转动 315

6．2．1 陀螺的Hamilton量 315

6．2．2 对称陀螺的转动谱的代数解法 318

6．2．3 对称陀螺转动谱的分析解法 321

6．2．4 非轴对称陀螺的转动谱 325

6．3 不可约张量，Wigner-Eckart定理 328

6．3．1 不可约张量算符 328

6．3．2 Wigner-Eckart定理 331

6．4．1 3个角动量的耦合，Racah系数，6j符号 337

6．4 多个角动量的耦合 337

6．4．2 4个角动量的耦合，9j符号 347

6．5 张量积，矩阵元 353

6．5．1 张量积 353

6．5．2 张量积的矩阵元 355

6．5．3 一阶张量的投影定理，矢量模型 363

7．1 绪论 369

7．1．1 对称性在经典物理学中的应用 369

第7章 量子体系的对称性 369

7．1．2 对称性在量子物理学中的深刻内涵 372

7．2 守恒量与对称性 376

附录 经典力学中守恒量与对称性的关系 385

7．3 量子态的分类与对称性 389

7．3．1 量子态按对称性群的不可约表示分类 389

7．3．2 简并态的标记，子群链 393

7．3．3 力学量的矩阵元 394

7．4．1 一般讨论 400

7．4 能级简并度与对称性的关系 400

7．4．2 一维粒子能级的简并性 403

7．4．3 对称性自发破缺 413

7．4．4 二维势阱中粒子能级的简并性 419

7．4．5 轴对称变形势 423

7．5 对称性在简并微扰论中的应用 427

7．5．1 一般原则 427

7．5．2 对称性在原子光谱分析中的应用，LS耦合 435

附录 Hund法则的定性解释 440

第8章 氢原子与谐振子的动力学对称性 442

8．1 中心力场中经典粒子的运动，轨道闭合性与守恒量 442

8．1．1 氢原子轨道的闭合性，Runge-Lenz矢量 442

8．1．2 各向同性谐振子轨道的闭合性 444

8．1．3 独立守恒量的数目与轨道的闭合性 447

附录1 Coulomb场中经典粒子的束缚态运动 448

附录2 经典力学中的Runge-Lenz矢量 451

附录3 Bertrand定理及其推广 452

8．2 氢原子的动力学对称性 456

8．2．1 二维氢原子的O_3动力学对称性 456

8．2．2 三维氢原子的O_4动力学对称性 460

8．2．3 n维氢原子的O_(n+1)动力学对称性 463

附录1 量子力学中的Runge-Lenz矢量 467

附录2 n维空间的球谐函数 470

8．3 各向同性阶振子的动力学对称性 474

8．3．1 各向同性谐振子的幺正对称性 474

8．3．2 二维各向同性谐振子 476

8．3．3 三维各向同性谐振子 478

8．3．4 能级简并性与经典轨道闭合性的关系 481

8．4 超对称量子力学方法，一维势阱中粒子的Schrodinger方程的因式分解 484

8．4．1 Schrodinger因式分解法的简要回顾 484

8．4．2 超对称量子力学方法 486

附录 V(x)=V_0cot~2(πηx)势阱的能谱 491

8．4．3 形状不变性 495

附录 V(x)=－V_0sech~2βx势阱中粒子的束缚能级 498

8．5 径向Schrodinger方程的因式分解 500

8．5．1 三维各向同性谐振子的四类升降算符 501

附录 507

8．5．2 二维各向同性谐振子的四类升降算符 508

附录 径向方程(32)的求解 512

8．5．3 三维氢原子的四类升、降算符 512

附录 514

8．5．4 二维氢原子的四类升、降算符 516

8．5．5 径向Schrodinger方程的可因式分解性 519

8．5．6 n维氢原子和各向同性谐振子的四类升降的算符 523

8．5．7 一维谐振子与氢原子 528

第9章 时间反演 530

9．1 时间反演态与时间反演算符 531

9．2．1 经典力学中的时间反演不变性 537

9．2 时间反演不变性 537

9．2．2 量子力学中的时间反演不变性 538

9．2．3 Schrodinger方程与时间反演不变性 541

9．2．4 T~2本征值与统计性的关系 543

9．2．5 Kramers简并 544

9．3 力学量的分类与矩阵元的计算 545

第10章 散射理论(续) 547

10．1 散射的形式理论 547

10．1．1 相互作用表象 547

10．1．2 态随时间演化的算符 548

10．1．3 微扰论展开 549

10．1．4 散射矩阵 551

10．1．5 S矩阵的微扰论展开 552

10．1．6 散射截面 555

10．1．7 分波法 558

附录 S距阵元的选择定则 561

10．2 Coulomb散射 563

10．2．1 抛物线坐标解法 564

10．2．2 球坐标解法 570

附录 573

10．2．3 Regge极点 575

第11章 相对论量子力学 578

11．1 Klein-Gordon方程 581

11．2 Dirac方程 587

11．2．1 Dirac方程的引进 587

11．2．2 电子的速度算符，电子自旋 591

11．2．3 α与β的矩陈表示 593

11．2．4 中微子的二分量理论 596

11．3 自由电子的平画波解 599

11．4．1 电磁场中电子的Dirac方程 604

11．4 电磁场中电子的Dirac方程与非相对论极限 604

11．4．2 非相对论极限与电子磁矩 605

11．4．3 中心力场下的非相对论极限，自旋轨道耦合 607

11．5 氢原子光谱的精细结构 611

11．5．1 中心力场中电子的守恒量 611

11．5．2 (K，j~2，j_z)的共同本征态 613

11．5．3 径向方程 615

11．5．4 氢原子光谱的精细结构 617

附录1 氢原子径向方程的求解 621

附录2 γ代数 625

附录3 Dirac方程的协变形式 629

第12章 辐射场的量子化及其与物质的相互作用 636

12．1 经典辐射场 636

12．1．1 经典电动力学简要回顾 636

12．1．2 经典辐射场的平面波展开 640

12．2 辐射场的量子化 643

12．3．1 经典辐射场的多极展开 647

12．3 多极辐射场及其量子化 647

12．3．2 多极辐射场的量子化 653

12．4 自发多极辐射 655

附录A 分析力学简要回顾 664

A．1 最小作用原理与Lagrange方程 664

A．2 Hamilton正则方程，Poisson括号 669

A．3 正则变换，生成函数 674

A．4 Jacobi-Hamilton方程 681

A．5 正则方程的积分 684

附录B 群与群表示理论简介 690

B．1 群的基本概念 692

B．1．1 群与群结构 692

B．1．2 子群与陪集 695

B．1．3 类，不变子群，商群 697

B．2．1 幺正变换群 699

B．2 量子体系的对称性变换群 699

B．1．4 同构与同态 699

B．2．2 置换群 704

B．3 群表示的基本定理 708

B．3．1 群表示的基本概念 708

B．3．2 有限群的表示的两条基本定理 711

B．4 特征标 718

B．4．1 特征标概念 718

B．4．2 几条重要定理 720

B．4．3 特征标的一种计算方法，类的乘积 723

B．5 群表示的直积与群的直积 726

B．5．1 群表示的直积及其约化 726

B．5．2 群的直积及其表示 729

量子力学一般参考书 733

量子力学习题参考书 734

常用物理常数简表 735

索引 737