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第1章 函数、极限与连续 1

阅读材料：数学王子高斯（Gauss） 1

1.1预备知识 2

1.1.1实数 2

1.1.2三角公式或三角恒等式 5

1.1.3行列式 6

1.2函数 8

1.2.1函数的概念及基本性质 8

1.2.2初等函数 11

1.2.3非初等函数举例 15

习题1.2 16

1.3数列的极限与函数的极限 17

1.3.1中国古代数学家的极限思想 17

1.3.2数列的极限 18

1.3.3函数的极限 19

习题1.3 22

1.4极限的运算 22

1.4.1极限的四则运算 22

1.4.2两个重要极限 25

习题1.4 29

1.5无穷小量与无穷大量 30

1.5.1无穷小量 30

1.5.2无穷大量 31

1.5.3无穷小量阶的比较 31

习题1.5 31

1.6函数的连续性 32

1.6.1函数y= f （x）在x=x0处的连续与间断 32

1.6.2函数y= f（x）在区间上的连续及性质 33

1.6.3闭区间上连续函数的性质 34

习题1.6 35

1.7极限（续） 36

本章小结 40

综合练习 42

第2章 导数与微分 44

阅读材料：最早提出导数思想的人——费马（Fermat） 44

2.1导数的概念 45

2.1.1问题的引入 45

2.1.2导数的定义 46

2.1.3导数的几何意义 47

2.1.4左、右导数 47

2.1.5函数的可导与连续的关系 48

习题2.1 48

2.2导数的基本公式与求导法则 49

2.2.1导数的基本公式 49

2.2.2导数的四则运算法则 50

2.2.3复合函数的求导法则 51

2.2.4两种求导方法 53

2.2.5高阶导数 55

习题2.2 56

2.3函数的微分 58

2.3.1问题的引入 58

2.3.2微分的定义 58

2.3.3微分的几何意义 59

2.3.4微分在近似计算中的应用 59

2.3.5微分基本公式和微分的运算法则 60

习题2.3 61

本章小结 62

综合练习 63

第3章 导数的应用 66

阅读材料：法国最有成就的数学家——拉格朗日（Lagrange） 66

3.1微分中值定理与函数的单调性 66

3.1.1罗尔（Rolle）定理 67

3.1.2拉格朗日（Lagrange）中值定理 67

3.1.3拉格朗日中值定理的两个重要推论 68

3.1.4函数的单调性 68

习题3.1 70

3.2函数的极值与最值 70

3.2.1函数的极值 70

3.2.2函数的最大值和最小值 72

3.2.3极值理论在工科中的应用举例 73

习题3.2 74

3.3洛必达法则 74

3.3.1 lim x→x0 （x→∞） f（x）/g(x)为0/0型 75

3.3.2 lim x→x0 （x→∞） f（x）/g(x)为∞/∞型 76

3.3.3其他未定型 76

习题3.3 77

3.4曲线的凸性与拐点 78

3.4.1曲线的凸性及其判别法 78

3.4.2拐点及其求法 79

3.4.3曲线的渐近线 79

3.4.4函数图像的描绘 80

习题3.4 82

本章小结 82

综合练习 83

第4章 不定积分 85

阅读材料：微积分创立的优先权 85

4.1不定积分的概念 86

4.1.1原函数 86

4.1.2不定积分的概念 86

4.1.3不定积分的几何意义 87

习题4.1 87

4.2不定积分的性质及基本积分表 88

4.2.1不定积分的性质 88

4.2.2基本积分表 89

习题4.2 90

4.3换元积分法 90

4.3.1第一类换元积分法（凑微分法） 90

4.3.2第二类换元积分法 93

习题4.3 95

4.4分部积分法 95

习题4.4 97

4.5有理函数的积分举例 98

习题4.5 98

本章小结 99

综合练习 100

第5章 定积分及其应用 102

5.1定积分的概念与性质 102

5.1.1生活中不均匀、不规则整体量的计算 102

5.1.2定积分的概念 103

5.1.3定积分的几何意义和物理意义 104

5.1.4定积分的性质 105

习题5.1 106

5.2微积分的基本定理 106

5.2.1变动上限定积分与原函数存在定理 106

5.2.2牛顿—莱布尼兹公式 107

习题5.2 109

5.3定积分的换元法与分部积分法 110

5.3.1定积分的换元积分法 110

5.3.2定积分的分部积分法 111

5.3.3无穷限的广义积分——无穷积分 112

习题5.3 113

5.4定积分的应用 113

5.4.1定积分应用的微元法 114

5.4.2定积分的几何应用 115

5.4.3定积分在物理学中的应用举例 117

习题5.4 121

本章小结 121

综合练习 122

第6章 微分方程及其应用 124

阅读材料：世界数学史上伟大的数学家欧拉（Euler） 124

6.1微分方程的基本概念 126

习题6.1 128

6.2一阶微分方程 128

6.2.1可分离变量的微分方程 128

6.2.2齐次型的微分方程 130

6.2.3一阶线性微分方程 132

习题6.2 134

6.3二阶微分方程 135

6.3.1可降阶的二阶微分方程 135

6.3.2二阶常系数线性微分方程 136

习题6.3 141

6.4微分方程的应用举例 142

习题6.4 146

本章小结 146

综合练习 148

第7章 向量与空间解析几何 150

阅读材料：解析几何的创始人笛卡尔（Rene Descartes） 150

7.1空间直角坐标系与向量的概念 151

7.1.1空间直角坐标系 151

7.1.2向量的基本概念及坐标表示 153

习题7.1 154

7.2向量的运算 155

7.2.1向量的线性运算 155

7.2.2功·向量的数量积 158

7.2.3力矩·向量的向量积 160

习题7.2 161

7.3平面与直线 162

7.3.1平面的方程 162

7.3.2直线的方程 164

7.3.3直线与平面的位置关系 166

习题7.3 167

7.4曲面与空间曲线 167

7.4.1曲面与空间曲线的概念 167

7.4.2常见的曲面和空间曲线 168

习题7.4 172

本章小结 172

综合练习 174

第8章 多元函数的微积分学 177

阅读材料：第三次数学危机——罗素悖论 177

8.1多元函数的概念 177

8.1.1二元函数的概念 177

8.1.2二元函数的极限与连续 179

习题8.1 180

8.2多元函数偏导数与全微分 180

8.2.1多元函数的偏导数 180

8.2.2多元函数的全微分及其在近似计算中的应用举例 182

8.2.3多元函数的高阶偏导数 183

习题8.2 184

8.3多元函数的复合函数偏导数 185

8.3.1中间变量是一元函数的情况 185

8.3.2中间变量是多元函数的情况 186

习题8.3 187

8.4多元函数的极值 187

8.4.1二元函数的极值 187

8.4.2二元函数的最大（小）值 188

8.4.3条件极值——拉格朗日乘数法 189

习题8.4 190

8.5二重积分的概念和计算 190

8.5.1二重积分的概念和性质 190

8.5.2二重积分的计算 192

本章小结 195

综合练习 195

第9章 无穷级数 197

阅读材料：英国数学家泰勒（Taylor） 197

9.1常数项级数 198

9.1.1常数项级数的概念 198

9.1.2正项级数收敛性判别法 201

9.1.3任意项级数、绝对收敛和条件收敛 204

习题9.1 205

9.2幂级数 207

9.2.1幂级数的概念与性质 208

9.2.2函数的幂级数展开 210

习题9.2 213

9.3级数在近似计算中的应用举例 214

习题9.3 215

本章小结 216

综合练习 217

第10章 傅里叶级数 220

10.1傅里叶级数 220

10.1.1三角级数、正交函数系 220

10.1.2傅里叶级数 221

10.1.3收敛定理 222

10.1.4正弦级数和余弦级数 226

10.2以2l为周期的函数的傅里叶级数 228

10.2.1以2l为周期的函数的傅里叶级数 228

10.2.2傅里叶级数的复数形式 230

10.3傅里叶变换 231

10.3.1傅里叶变换的概念 232

10.3.2傅里叶变换的一些性质 233

10.4拉普拉斯变换 234

10.4.1拉普拉斯变换的概念 235

10.4.2拉普拉斯变换的存在定理 236

10.4.3拉普拉斯变换的性质 236

综合练习 237

第11章 MATLAB数学软件简介 239

11.1 MATLAB基础知识 239

11.1.1数学软件基本知识介绍 239

11.1.2 MATLAB常用函数与计算 241

11.2用MATLAB软件解方程、求极限、导数、积分、微分方程 242

11.2.1解方程 242

11.2.2求极限 242

11.2.3求导数 243

11.2.4求积分 244

11.2.5解微分方程 244

11.3向量、矩阵及其运算 245

11.3.1向量的表示与运算 245

11.3.2矩阵的表示及运算 247

11.3.3解线性方程组 248

11.4 MATLAB图像处理 249

11.4.1二维图像 250

11.4.2三维图像 254

11.5优化工具箱简介 255

11.5.1无约束最小值 255

11.5.2线性规划 256

综合练习 258