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篇要 高数解题的四种思维定势 1

第一篇 高等数学 7

第一章 函数·极限·连续 7

1.1 函数 7

一、函数的定义 7

二、函数的定义域的求法 8

三、函数的基本性质 9

四、分段函数 13

五、初等函数 14

1.2 函数的极限及其连续性 18

一、概念 18

二、重要定理与公式 20

1.3 极限的求法 27

一、未定式的定值法 27

二、 类未定式 31

三、数列的极限 32

四、极限式中常数的确定（重点） 37

五、杂例 40

习题一 43

第二章 导数与微分 47

2.1 定义·定理·公式 47

一、导数与微分的定义 47

二、定理 49

三、导数与微分的运算法则 49

四、基本公式 50

五、弧微分 50

2.2 各类函数导数的求法 51

一、复合函数微分法 51

二、参数方程微分法 52

三、隐函数微分法 53

四、幂指函数微分法 54

五、函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法 55

六、分段函数微分法 55

2.3 高阶导数 57

一、定义与基本公式 57

二、高阶导数的求法 57

习题二 60

第三章 不定积分 64

3.1 不定积分的概念与性质 64

一、不定积分的概念 64

二、基本性质 64

三、基本公式 65

3.2 基本积分法 66

一、第一换元积分法（也称凑微分法） 66

二、第二换元积分法 70

三、分部积分法 74

3.3 各类函数积分的技巧及分析 79

一、有理函数的积分 79

二、简单无理函数的积分 81

三、三角有理式的积分 82

四、含有反三角函数的不定积分 85

五、抽象函数的不定积分 86

六、分段函数的不定积分 87

习题三 88

第四章 定积分及反常积分 91

4.1 定积分性质及有关定理与公式 91

一、基本性质 91

二、定理与公式 94

4.2 定积分的计算法 97

一、牛顿—莱布尼茨公式 98

二、定积分的换元积分法 98

三、定积分的分部积分法 100

4.3 特殊形式的定积分计算 101

一、分段函数的积分 101

二、被积函数带有绝对值符号的积分 103

三、被积函数中含有“变限积分”的积分 104

四、对称区间上的积分 106

五、被积函数的分母为两项，而分子为其中一项的积分 107

六、由三角有理式与其他初等函数通过四则或复合而成的函数的积分 108

七、杂例 109

4.4 定积分有关命题证明的技巧 111

一、定积分等式的证明 111

二、定积分不等式的证明 119

习题四（1） 125

4.5 反常积分 127

一、基本概念 127

二、题型归纳及思路提示 128

习题四（2） 129

第五章 中值定理的证明技巧 130

5.1 连续函数在闭区间上的性质 130

一、基本定理 130

二、有关闭区间上连续函数的命题的证法 130

习题五（1） 132

5.2 微分中值定理及泰勒公式 133

一、基本定理 133

二、泰勒公式 134

5.3 证题技巧分析 137

一、欲证结论：至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（n）（ξ）＝0的命题证法 137

二、欲证结论：至少？一点ξ∈（a，b），使得f（n）（ξ）＝k（≠0）及其代数式的证法 139

三、欲证结论：在（a，b）内至少？ξ，η，ξ≠η满足某种关系式的命题的证法 144

习题五（2） 145

第六章 常微分方程 147

6.1 基本概念 147

一、微分方程 147

二、微分方程的阶 147

三、微分方程的解 147

6.2 一阶微分方程 148

一、各类一阶方程解法一览表 148

二、解题技巧及分析 149

6.3 可降阶的高阶方程 157

一、可降阶的高阶方程解法一览表 157

二、解题技巧及分析 157

6.4 高阶线性微分方程 158

一、二阶线性微分方程解的结构 158

二、二阶常系数线性微分方程 160

三、n阶常系数线性方程 161

四、欧拉方程 166

6.5 微分方程的应用 167

一、在几何中的应用 167

二、在力学中的应用 169

习题六 170

第七章 一元微积分的应用 173

7.1 导数的应用 173

一、利用导数判别函数的单调增减性 173

二、利用导数研究函数的极值与最值 174

三、关于方程根的研究 180

四、函数作图 184

7.2 定积分的应用 187

一、微元法及其应用 187

二、平面图形的面积 189

三、立体体积 191

四、平面曲线的弧长 192

五、旋转体的侧面积 193

六、变力作功、引力、液体的静压力 193

习题七 196

第八章 无穷级数 199

8.1 基本概念及其性质 199

8.2 数项级数判敛法 200

一、正项级数∞ ∑ n=1un，（un≥0）敛散性的判别法 200

二、交错级数∑（-1）n-1un（un＞0）的判敛法 205

三、任意项级数 206

四、杂例 208

8.3 幂级数 211

一、函数项级数的概念 211

二、幂级数 213

8.4 无穷级数求和 219

一、幂级数求和函数 219

二、数项级数求和 223

8.5 傅里叶级数 227

一、概念、定理 227

二、周期与非周期函数的傅里叶级数 228

习题八 232

第九章 矢量代数与空间解析几何 236

9.1 矢量的概念及其性质 236

一、概念及其运算 236

二、矢量之间的关系 237

9.2 平面与直线 241

9.3 投影方程 246

9.4 曲面方程 248

习题九 252

第十章 多元函数微分学 254

10.1 基本概念及定理与公式 254

一、二元函数的定义 254

二、二元函数的极限及连续性 255

三、偏导数、全导数及全微分 256

四、基本定理 257

10.2 多元函数微分法 259

一、简单显函数u＝f（x，y，z）的微分法 259

二、复合函数微分法 260

三、隐函数微分法 263

10.3 多元函数微分学在几何上的应用 266

一、空间曲线在某点处的切线和法平面方程 266

二、空间曲面在其上某点处的切平面和法线方程 267

10.4 多元函数的极值 269

一、概念、定理与公式 269

二、条件极值与无条件极值 269

习题十 274

第十一章 重积分 277

11.1 概念·性质·公式 277

一、概念 277

二、性质 277

三、公式 280

11.2 二重积分的解题技巧 281

一、？f（x，y）dσ的解题程序 281

二、极坐标系中积分限的确定 282

三、典型例题分析 283

11.3 二重积分的证题技巧 289

一、有关等式的证明 289

二、二重积分不等式的证明 291

11.4 三重积分的计算 293

一、？f（x，y，z）dv的解题程序 293

二、坐标系的选择 293

三、球面坐标系中积分限的确定 294

四、更换积分次序 295

五、三重积分计算 296

习题十一 297

第十二章 曲线、曲面积分及场论初步 302

12.1 曲线积分的概念及性质 302

一、对弧长的曲线积分 302

二、对坐标的曲线积分 302

三、两种曲线积分之间的关系 303

12.2 曲线积分的理论及计算方法 303

一、基本定理 303

二、对弧长的曲线积分的计算方法 304

三、对坐标的曲线积分∫L P（x，y）dx＋Q（x，y）dy的计算法 305

12.3 曲面积分的概念与性质 311

一、对面积的曲面积分 311

二、对坐标的曲面积分 311

三、两种曲面积分之间的关系 312

12.4 曲面积分的理论与计算方法 312

一、基本定理 312

二、对面积的曲面积分的计算法 313

三、对坐标的曲面积分的计算法 314

12.5 曲面面积的计算法 319

12.6 场论初步 320

一、概念与公式 320

二、例题选讲 321

习题十二 324

第十三章 函数方程与不等式证明 326

13.1 函数方程 326

一、利用函数表示法与用何字母表示无关的“特性”求解方程 326

二、利用极限求解函数方程 327

三、利用导数的定义求解方程 328

四、利用变上限积分的可导性求解方程 328

五、利用连续函数的可积性及原函数的连续性求解 329

六、利用解微分方程的方法求解f（x） 330

13.2 不等式的证明 333

一、引入参数法 333

二、利用微分中值定理 334

三、利用函数的单调增减性（重点） 336

四、利用函数的极值与最值 337

五、利用函数图形的凹凸性 339

六、利用泰勒展开式 339

七、杂例 341

习题十三 342

篇要 线性代数的八种思维定势 345

第二篇 线性代数 349

第一章 行列式 349

1.1 行列式的概念 349

一、排列与逆序 349

二、n阶行列式的定义 350

1.2 性质、定理与公式 351

一、行列式的基本性质 351

二、行列式按行（列）展开定理 354

三、重要公式与结论 354

1.3 典型题型分析 355

题型一 抽象行列式的计算 355

题型二 低阶行列式的计算 356

题型三 n阶行列式的计算 358

1.4 杂例 363

习题一 365

第二章 矩阵 367

2.1 矩阵的概念与运算 367

一、矩阵的概念 367

二、矩阵的运算 367

2.2 逆矩阵 370

一、逆矩阵的概念 370

二、利用伴随矩阵求逆矩阵 371

三、矩阵的初等变换与求逆 372

四、分块矩阵及其求逆 373

五、矩阵的秩及其求法 373

2.3 典型题型分析 373

题型一 求逆矩阵 373

题型二 求矩阵的高次幂Am 376

题型三 有关初等矩阵的命题 378

题型四 解矩阵方程 378

题型五 求矩阵的秩 380

题型六 关于矩阵对称、反对称命题的证明 382

题型七 关于方阵A可逆的证明 382

题型八 与A的伴随阵A有关联的命题的证明 383

题型九 关于矩阵秩的命题的证明 385

习题二 386

第三章 向量 391

3.1 基本概念 391

一、向量的概念与运算 391

二、向量间的线性关系 391

三、向量组的秩和矩阵的秩 392

四、向量空间 393

3.2 重要定理与公式 395

3.3 典型题型分析 396

题型一 讨论向量组的线性相关性 396

题型二 有关向量组线性相关性命题的证明 399

题型三 判定一个向量是否可由一组向量线性表示 405

题型四 有关向量组线性表示命题的证明 406

题型五 求向量组的极大线性无关组 408

题型六 有关向量组或矩阵秩的计算与证明 410

题型七 与向量空间有关的命题 414

习题三 416

第四章 线性方程组 419

4.1 概念、性质、定理 419

一、克莱姆法则 419

二、线性方程组的基本概念 419

三、线性方程组解的判定 420

四、非齐次组Ax＝b与齐次组Ax＝0解的关系 420

五、线性方程组解的性质 421

六、线性方程组解的结构 421

4.2 典型题型分析 422

题型一 基本概念题（解的判定、性质、结构） 422

题型二 含有参数的线性方程组解的讨论 425

题型三 讨论两个方程组的公共解 430

题型四 有关基础解系的证明 432

题型五 综合题 433

习题四 438

第五章 特征值和特征向量 442

5.1 概念与性质 442

一、矩阵的特征值和特征向量的概念 442

二、特征值与特征向量的计算方法 442

三、相似矩阵及其性质 443

四、矩阵可相似对角化的充要条件 443

五、对称矩阵及其性质 443

5.2 重要公式与结论 444

5.3 典型题型分析 445

题型一 求数值矩阵的特征值与特征向量 445

题型二 求抽象矩阵的特征值、特征向量 446

题型三 特征值、特征向量的逆问题 447

题型四 相似的判定及其逆问题 449

题型五 判断A是否可对角化 451

题型六 综合应用问题 453

题型七 有关特征值、特征向量的证明题 458

习题五 460

第六章 二次型 463

6.1 基本概念与定理 463

一、二次型及其矩阵表示 463

二、化二次型为标准型 463

三、用正交变换法化二次型为标准形 464

四、二次型和矩阵的正定性及其判别法 464

6.2 典型题型分析 467

题型一 二次型所对应的矩阵及其性质 467

题型二 化二次型为标准形 468

题型三 已知二次型通过正交变换化为标准形，反求参数 471

题型四 有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明 473

习题六 476

篇要 概率统计的九种思维定势 478

第三篇 概率论与数理统计第一章 随机事件和概率 484

1 基本概念、性质与公式 484

一、随机试验和随机事件 484

二、事件的关系及其运算 484

三、事件的概率及其性质 486

四、条件概率与事件的独立性 487

五、重要概型 489

六、重要公式 489

2 典型题型分析 490

题型一 古典概型与几何概型 490

题型二 事件的关系和概率性质的命题 493

题型三 条件概率与积事件概率的计算 495

题型四 全概率公式与Bayes公式的命题 496

题型五 有关Bernoulli概型的命题 499

习题一 501

第二章 随机变量及其分布 504

1 基本概念、性质与公式 504

一、概念与公式一览表 504

二、重要的一维分布 507

三、重要的二维分布 509

2 典型题型分析 510

题型一 一维随机变量及其分布的概念、性质的命题 510

题型二 求一维随机变量的分布律、概率密度或分布函数 513

题型三 求一维随机变量函数的分布 517

题型四 二维随机变量及其分布的概念、性质的考查 520

题型五 求二维随机变量的各种分布与随机变量独立性的讨论 522

题型六 求两个随机变量的简单函数的分布 529

习题二 533

第三章 随机变量的数字特征 540

1 基本概念、性质与公式 540

一、一维随机变量的数字特征 540

二、二维随机变量的数字特征 542

三、几种重要的数学期望与方差 543

四、重要公式与结论 544

2 典型题型分析 544

题型一 求一维随机变量的数字特征 544

题型二 求一维随机变量函数的数学期望 548

题型三 求二维随机变量及其函数的数字特征 551

题型四 有关数字特征的证明题 560

题型五 应用题 561

习题三 564

第四章 大数定律和中心极限定理 568

1 基本概念与定理 568

一、切比雪夫不等式 568

二、中心极限定理 568

三、重要公式与结论 569

四、注意 569

2 典型题型分析 569

题型一 有关切比雪夫不等式与大数定律的命题 569

题型二 有关中心极限定理的命题 571

习题四 574

第五章 数理统计的基本概念 575

1 基本概念、性质与公式 575

一、几个基本概念 575

二、三个抽样分布——x2分布、t分布与F分布 576

三、正态总体下常用统计量的性质 576

四、重要公式与结论 577

2 典型题型分析 578

题型一 求统计量的数字特征或取值的概率、样本的容量 578

题型二 求统计量的分布 580

习题五 581

第六章 参数估计 584

1 基本概念、性质与公式 584

一、矩估计与极大似然估计 584

二、估计量的评选标准 585

三、区间估计 586

四、重要公式与结论 587

2 典型题型分析 588

题型一 求矩估计和极大似然估计 588

题型二 评价估计的优劣 592

题型三 区间估计或置信区间的命题 593

习题六 596

第七章 假设检验 598

1 基本概念与公式 598

一、显著性检验的基本思想 598

二、假设检验的基本步骤 598

三、两类错误 598

四、正态总体未知参数的假设检验 599

五、假设检验与区间估计的联系 600

2 典型题型分析 600

题型一 正态总体的均值和方差的假设检验 600

题型二 有关两类错误的命题 601

习题七 602