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第9章 空间解析几何与向量代数 1

9.1向量及其线性运算 1

9.1.1向量的概念 1

9.1.2向量的线性运算 2

9.1.3空间直角坐标系 4

9.1.4利用坐标作向量的线性运算 6

9.1.5向量的模、方向角、投影 7

习题9.1 9

9.2数量积 向量积混合积 10

9.2.1两向量的数量积 10

9.2.2两向量的向量积 13

9.2.3向量的混合积 15

习题9.2 17

9.3曲面及其方程 18

9.3.1曲面方程的概念 18

9.3.2旋转曲面 19

9.3.3柱面 21

9.3.4二次曲面 22

习题9.3 25

9.4空间曲线及其方程 25

9.4.1空间曲线的一般方程 25

9.4.2空间曲线的参数方程 26

9.4.3空间曲线在坐标面上的投影 28

习题9.4 30

9.5平面及其方程 30

9.5.1平面的点法式方程 30

9.5.2平面的一般方程 31

9.5.3两平面的夹角 32

习题9.5 34

9.6空间直线及其方程 35

9.6.1空间直线的一般方程 35

9.6.2空间直线的对称式方程与参数方程 35

9.6.3两直线的夹角 37

9.6.4直线与平面的夹角 37

9.6.5线面综合题 38

习题9.6 40

本章小结 41

一、内容概要 41

二、解题指导 41

复习题9 42

第10章 多元函数微分法及其应用 44

10.1平面点集与多元函数 44

10.1.1平面点集 44

10.1.2二元函数的概念 46

10.1.3多元函数的极限 47

10.1.4多元函数的连续性 48

习题10.1 50

10.2偏导数 51

10.2.1偏导数的定义及其计算方法 51

10.2.2高阶偏导数 54

习题10.2 55

10.3全微分 56

10.3.1全微分的定义 56

10.3.2全微分在近似计算中的应用 58

习题10.3 59

10.4复合函数微分法 60

10.4.1多元复合函数的求导法则 60

10.4.2多元复合函数的全微分 64

习题10.4 64

10.5隐函数 65

10.5.1一个方程的情形 65

10.5.2方程组的情况 68

习题10.5 70

10.6多元函数微分学的几何应用 71

10.6.1空间曲线的切线与法平面 71

10.6.2曲面的切平面与法线 74

习题10.6 76

10.7方向导数与梯度 76

10.7.1方向导数 76

10.7.2梯度 78

习题10.7 81

10.8多元函数的极值 81

10.81多元函数的极值 82

10.8.2多元函数的最大值与最小值 84

10.8.3条件极值与拉格朗日乘数法 85

习题10.8 88

10.9最小二乘法 89

习题10.9 92

本章小结 92

一、内容概要 92

二、解题指导 93

复习题10 93

第11章 重积分 96

11.1二重积分的概念和性质 96

11.1.1二重积分的概念 96

11.1.2二重积分的性质 98

习题11.1 100

11.2二重积分的计算法（一） 100

11.2.1利用直角坐标计算二重积分 100

11.2.2利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算 105

习题11.2 106

11.3二重积分的计算法（二） 108

11.3.1利用极坐标计算二重积分 108

11.3.2二重积分的换元法 111

习题11.3 114

11.4三重积分（一） 115

11.4.1三重积分的概念 115

11.4.2利用直角坐标计算三重积分 116

11.4.3利用对称性和奇偶性化简三重积分的计算 120

习题11.4 120

11.5三重积分（二） 121

11.5.1利用柱面坐标计算三重积分 121

11.5.2利用球面坐标计算三重积分 123

11.5.3三重积分的换元法 125

习题11.5 126

11.6重积分应用 126

11.6.1几何应用 126

11.6.2物理应用 130

习题11.6 135

本章小结 135

一、内容概要 136

二、解题指导 136

复习题11 137

第12章 曲线积分和曲面积分 141

12.1对弧长的曲线积分 141

12.1.1对弧长的曲线积分的概念与性质 141

12.1.2对弧长的曲线积分的计算 143

习题12.1 146

12.2对坐标的曲线积分 146

12.2.1对坐标的曲线积分的概念与性质 146

12.2.2对坐标的曲线积分的计算 149

12.2.3两类曲线积分的联系 153

习题12.2 155

12.3格林公式及其应用 156

12.3.1区域的连通性及边界曲线的正向 156

12.3.2格林公式 157

12.3.3平面上曲线积分与路径无关的条件 160

全微分方程 164

习题12.3 166

12.4对面积的曲面积分 167

12.4.1对面积的曲面积分的概念和性质 167

12.4.2对面积的曲面积分的计算 168

习题12.4 171

12.5对坐标的曲面积分 171

12.5.1有向曲面及其投影 171

12.5.2对坐标的曲面积分的概念和性质 173

12.5.3对坐标的曲面积分的计算 175

12.5.4两类曲面积分之间的联系 177

习题12.5 180

12.6高斯公式通量与散度 181

12.6.1高斯公式 181

12.6.2沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 185

12.6.3通量与散度 186

习题12.6 187

12.7斯托克斯公式环流量与旋度 188

12.7.1斯托克斯公式 188

12.7.2空间曲线与路径无关的条件 191

12.7.3环流量与旋度 191

习题12.7 192

本章小结 193

一、内容概要 193

二、解题指导 193

三、人物介绍 196

复习题12 197

第13章 无穷级数 201

13.1常数项级数的概念和性质 201

13.1.1常数项级数的概念 201

13.1.2收敛级数的基本性质 205

13.1.3柯西审敛原理 207

习题13.1 208

13.2常数项级数的审敛法 209

13.2.1正项级数及其审敛法 209

13.2.2交错级数及其审敛法 215

13.2.3绝对收敛与条件收敛 217

习题13.2 218

13.3幂级数 219

13.3.1函数项级数的概念 219

13.3.2幂级数及其收敛性 220

13.3.3幂级数的运算 224

习题13.3 228

13.4函数展开成幂级数 228

13.4.1泰勒级数 229

13.4.2函数展开成幂级数 230

习题13.4 237

13.5函数的幂级数展开式的应用 237

13.5.1近似计算 237

13.5.2欧拉公式 241

13.5.3微分方程的幂级数解法 242

习题13.5 245

13.6傅里叶级数 245

13.6.1三角级数 三角函数系的正交性 245

13.6.2函数展开成傅里叶级数 247

13.6.3正弦级数和余弦级数 252

习题13.6 256

13.7一般周期函数的傅里叶级数 257

13.7.1周期为2l的周期函数的傅里叶级数 257

13.7.2傅里叶级数的复数形式 260

习题13.7 263

本章小结 263

一、内容概要 265

二、解题指导 265

三、数学史与人物介绍 266

复习题13 269

第14章 MATLAB软件与多元函数微积分 272

14.1多元函数微分学实验 272

14.1.1空间曲面及曲线绘图 272

14.1.2 MATLAB求极限 273

14.1.3 MATLAB求偏导数及全微分 274

14.1.4 MATLAB与微分法的几何应用 274

14.1.5 MATLAB求多元函数的极值 278

14.2多元函数积分学实验 279

14.2.1 MATLAB求二重积分 279

14.2.2 MATLAB求三重积分 280

14.3泰勒级数和傅里叶级数实验 281

14.3.1泰勒级数 281

14.3.2傅里叶级数 282

本章小结 284

复习题14 284

第15章 数学建模初步 285

15.1数学建模的方法与步骤 285

15.1.1数学模型的分类 285

15.1.2数学建模的基本方法 286

15.1.3数学建模的过程及一般步骤 286

15.2全国大学生数学建模竞赛简介 288

15.2.1全国大学生数学建模竞赛的历史发展与现状 288

15.2.2全国大学生数学建模竞赛的宗旨与目的 288

15.3微积分模型 289

15.3.1椅子问题 289

15.3.2洗衣服中的数学 291

15.3.3通信卫星的电波覆盖的地球面积 293

15.3.4万有引力定律的发现 294

习题15.3 297

15.4微分方程模型 297

15.4.1传染病的传播 297

15.4.2交通问题模型 302

习题15.4 303

15.5简单的经济数学模型 304

15.5.1边际成本与边际收益 304

15.5.2效用函数 305

15.5.3商品替代率 305

15.5.4效用分析 306

15.5.5一个最优价格模型 306

习题15.5 308

15.6 SARS传播问题 308

本章小结 313

习题答案与提示 314