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第一章　集合·实数·函数 1

1.1　集合及其运算 1

一、集合与元素 1

二、集合的包含关系 2

三、集合的运算 2

四、有限集与无限集 3

五、无限个集合的运算 3

1.2　实数集·确界原理·绝对值不等式 4

一、实数集 4

二、上界与下界 5

三、确界原理·数集的直径 6

四、绝对值不等式 7

1.3　映射与函数 8

一、映射 8

二、映射的相等 8

三、单射·满射·双射 9

四、复合映射 9

五、逆映射 9

六、映射的限制与延拓 10

七、分段映射 10

八、初等函数 10

1.4　函数的某些几何特性 11

一、有界性 11

二、奇偶性 12

三、周期性 12

四、单调性 12

五、最大最小值与极值 12

第二章　数列极限与集列极限2.1　数列极限 16

一、近似值数列 16

二、数列极限的定义 16

三、无穷小数列 18

2.2　收敛数列的性质 19

2.3　单调数列的极限·数列的广义极限 24

一、单调有界收敛定理 24

二、数e 25

三、举例 26

四、单调无界数列与广义极限 27

五、无穷大量与无穷小量 28

六、不定式 28

2.4　集列极限·收敛原理·上、下极限 30

一、集列极限的概念 30

二、集列极限与数列极限 30

三、收敛原理 32

四、上、下极限 35

第三章　函数极限和集值函数极限3.1　函数极限 38

一、引言 38

二、自变量趋于有限数时的函数极限 39

三、单侧极限 40

四、自变量趋于无限时的函数极限 41

3.2　函数极限的性质 43

一、函数极限的性质 43

二、两个重要的极限 46

3.3　单调函数的极限·广义极限·阶的比较 49

一、单调有界函数的极限 49

二、单调无界函数与广义极限 49

三、无穷小量、无穷大量与有界量 50

四、等价量 50

五、阶的比较 52

3.4　集值函数的极限·收敛原理·函数的上、下极限 53

一、集值函数极限的概念 53

二、集值函数极限、函数极限与数列极限三者的关系 54

三、收敛原理 56

四、函数的上、下极限 58

第四章　连续函数 61

4.1　连续函数 61

一、函数在x0点连续的定义 61

二、左、右连续性 61

三、不连续点 62

四、区间上的连续函数 63

4.2　连续函数的局部性质与运算性质 64

一、连续函数的局部性质 64

二、连续函数的四则运算 65

三、复合函数的连续性 65

四、反函数的连续性 65

五、初等函数的连续性 66

4.3　区间上连续函数的全局性质 68

一、连续函数的介值定理 68

二、闭区间上的连续函数的性质 70

三、一致连续性 71

第五章　实数基本定理与单调下降集列的收敛性·连续归纳法5.1　实数的基本定理与单调下降集列的收敛性 77

一、实数基本定理 77

二、单调下降集列的收敛性与实数基本定理 78

三、实数基本定理等价性的证明方法 78

5.2　连续归纳法 80

一、用确界原理证明连续归纳法 81

二、用连续归纳法证明确界原理 81

5.3　实数完备性的基本定理与连续归纳法 81

一、单调有界定理 81

二、区间套定理 82

三、聚点定理 83

四、有限覆盖定理 84

五、Cauchy收敛准则 84

六、Dedekind公理 85

七、有关实数完备性基本定理的等价性 86

5.4　闭区间上连续函数性质的连续归纳法证明 87

一、有界性定理 88

二、最大最小值定理 88

三、介值定理 88

四、一致连续性定理 89

第六章　导数与微分 90

6.1　导数 90

一、引言 90

二、导数的定义 90

三、导数的几何意义 91

四、单侧导数 92

五、可导与连续 92

六、导函数 92

6.2　求导法则 96

一、函数的四则运算的求导 96

二、复合函数的求导法 97

三、反函数的求导法 99

四、基本求导公式 100

五、参数方程求导法 100

六、隐函数的求导法 101

6.3　微分 103

一、引言 103

二、微分的定义 103

三、可微与可导的关系 103

四、函数f在区间的可微性 104

五、微分的几何意义 104

六、微分的法则 104

七、一阶微分形式不变性 104

6.4　高阶导数与高阶微分 106

一、高阶导数的定义 106

二、基本公式 106

三、Leibniz公式 107

四、高阶微分 107

五、高阶微分不具有形式不变 107

第七章　微分学基本定理及其应用7.1　微分中值定理 110

一、Fermat定理 110

二、Rolle定理 111

三、Lagrange中值定理 111

四、Cauchy中值定理 112

五、Darboux定理 113

7.2　Taylor公式 115

一、Taylor公式 115

二、基本公式 117

三、Lagrange余项 117

四、应用（7.2的例） 118

7.3　L'Hospital法则 120

一、0/0型的L'Hospital法则 120

二、∞／∞型的L'Hospital法则 121

三、其他类型未定式的极限 123

四、注释 124

第八章 导数的应用 126

8.1　函数的单调性、极值 126

一、函数的单调性 126

二、极值 127

三、最大值与最小值的求法 129

8.2　函数的凸性 132

一、引言 132

二、凸函数 133

三、凸函数的判别法 134

四、凸函数的一些等价描述 135

五、拐点 136

8.3　函数作图 138

一、渐近线 138

二、函数作图 139

第九章　不定积分 142

9.1　原函数与不定积分 142

一、引言 142

二、原函数与不定积分 142

三、基本积分公式 143

四、不定积分的线性运算 144

9.2　换元积分法与分部积分法 146

一、第一换元法 146

二、第二换元法 148

三、分部积分法 150

9.3　若干可积函数类 153

一、有理函数的积分 153

二、三角函数有理式的积分 155

三、∫R(x,n？ax+b/cx+d)dx型积分 156

四、∫R(x,？ax2+bx+c)dx型积分 157

第十章　定积分·广义积分 159

10.1　定积分概念与Newton-Leibniz公式 159

一、引言 159

二、［a,b］的分割 160

三、定积分的定义 160

四、牛顿-莱布伯尼兹公式 161

10.2　可积条件 163

一、可积的必要条件 163

二、可积的充要条件 164

三、可积函数类 166

10.3　定积分的性质 168

10.4　微积分基本定理·定积分换元与分部积分法 175

一、微积分基本定理 175

二、定积分的换元和分部积分法 176

三、带积分型余项的Taylor公式 177

四、定积分的第二中值定理 178

10.5　广义积分 181

一、引言 181

二、广义积分的定义 182

三、广义积分的计算 182

四、收敛原理与广义积分的性质 183

五、条件收敛与绝对收敛 184

六、绝对收敛的判别法 184

七、条件收敛的判别法 186

第十一章　定积分的应用 189

11.1　平面图形的面积 189

一、直角坐标系中的面积 189

二、参数方程形式的曲线所围成的面积 190

三、极坐标系中的面积 190

11.2　曲线的弧长与曲率 191

一、曲线弧长的概念 191

二、曲线弧长的计算 192

三、曲率 193

11.3　体积与旋转曲面的侧面积 195

一、体积 195

二、旋转体的体积 196

三、旋转体的侧面积 197

11.4　物理应用举例 199

一、微元法 199

二、平面曲线的静力矩和重心 199

三、平面图形的静力矩与重心 200

11.5　定积分的近似计算 201

一、预备知识 201

二、Simpson公式 203