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第1章　复数 1

1.1　复数 1

1.1.1　复数的概念及代数运算 1

1.1.2　复数的几何表示，模与辐角 2

1.1.3　复数的乘幂与方根 6

1.2　复平面上的曲线和区域 7

1.2.1　平面点集的一般概念 7

1.2.2　曲线和区域 8

1.3　复球面与无穷远点 10

习题1 11

第2章　解析函数 13

2.1 复变函数 13

2.1.1　复变函数的概念 13

2.1.2　复变函数的极限与连续 14

2.2　解析函数 15

2.2.1　复变函数的导数 15

2.3　柯西-黎曼方程 17

2.2.2　解析函数 17

2.4　初等解析函数 20

2.4.1 指数函数 20

2.4.2　对数函数 21

2.4.3　幂函数 23

2.4.4　三角函数与双曲函数 24

2.4.5　反三角函数与反双曲函数 26

习题2 28

第3章　复变函数的积分 30

3.1　复积分的概念 30

3.1.1　复积分的概念 30

3.1.2　复积分的计算 31

3.1.3　复积分的基本性质 33

3.2　柯西积分定理 34

3.2.1　柯西积分定理 34

3.2.2　多连通区域的柯西积分定理 36

3.3　解析函数的不定积分 38

3.4　柯西积分公式 39

3.5　解析函数的高阶导数 40

3.5.1　解析函数的高阶导数 40

3.5.2　柯西不等式和刘维尔定理 43

3.6　解析函数与调和函数的关系 44

习题3 46

第4章 级数 49

4.1　复数项级数与复变函数项级数 49

4.1.1　复数序列与复数项级数 49

4.1.2　复变函数项序列与复变函数项级数 50

4.2　幂级数 51

4.2.1　幂级数的敛散性 51

4.2.2　幂级数收敛半径的求法 53

4.2.3　幂级数的运算和性质 53

4.3　泰勒（Taylor）级数 55

4.3.1　解析函数的泰勒展式 55

4.3.2　一些初等函数的泰勒展式 57

4.4.1　解析函数的零点及唯一性定理 60

4.4　解析函数的唯一性定理 60

4.4.2　最大模原理 61

4.5　罗朗（Laurent）级数 62

4.6　解析函数的孤立奇点 67

4.6.1　孤立奇点的分类 67

4.6.2 函数在孤立奇点的性质 68

4.6.3 函数在无穷远点的性质 70

习题4 72

第5章 留数理论及其应用 75

5.1 留数及留数定理 75

5.1.1 留数的定义及留数定理 75

5.1.2　留数的求法 76

5.1.3 函数在无穷远点处的留数 79

5.2　应用留数计算定积分 81

5.2.1　计算？型积分 82

5.2.2　计算？型积分 83

5.2.3　计算？型积分（其中α>0） 84

5.2.4　积分路径上有奇点的积分 86

5.2.5　一些其他类型的积分 88

5.3 辐角原理和儒歇（Rouché）定理 90

5.3.1　对数留数定理 90

5.3.2　辐角原理 91

5.3.3　儒歇定理 93

习题5 94

第6章　保形映射 96

6.1　保形映射的概念和性质 96

6.1.1　导数的几何意义 96

6.1.2　保形映射的概念 98

6.1.3 解析映射的保域性 99

6.2　分式线性映射 100

6.2.1　分式线性映射的分解 100

6.2.2　分式线性映射的保角性 102

6.2.3　分式线性映射的保圆性 103

6.2.5　分式线性映射的保交比性 104

6.2.4　分式线性映射的保对称点性 104

6.2.6　二个重要的分式线性映射 105

6.3　几个初等函数的映射 107

6.3.1　幂函数与根式函数 107

6.3.2　指数函数与对数函数 108

6.3.3　儒可夫斯基函数 109

6.3.4　复合映射举例 111

6.4　保形映射的基本定理 115

6.5　施瓦兹-克里斯托菲公式 116

习题6 121

第7章　傅里叶变换 124

7.1　傅氏变换的概念 124

7.1.1　傅里叶级数 124

7.1.2　傅氏变换 126

7.2　一些常用函数的傅氏变换 129

7.2.1　单位脉冲函数的概念及性质 129

7.2.2　δ-函数的傅氏变换 131

7.3.1　傅氏变换的基本性质 132

7.3　傅氏变换的性质 132

7.3.2　卷积与卷积定理 137

7.3.3 相关函数 138

7.3.4　综合举例及傅氏变换的应用 141

习题7 144

第8章 拉普拉斯变换 147

8.1　拉氏变换的概念 147

8.1.1　拉氏变换的定义 147

8.1.2　拉氏变换的存在定理 148

8.2　拉普拉斯变换的性质 150

8.2.1　拉氏变换的基本性质 150

8.2.2　卷积与卷积定理 155

8.3　拉氏逆变换的计算 157

8.4　拉氏变换的应用 159

习题8 161

第9章 解析函数在平面场的应用 165

9.1　用复变函数表示平面场 165

9.2.1　流量与环量 166

9.2　复变函数在流体力学中的应用 166

9.2.2 平面稳定流动的复势及应用 168

9.3 复变函数在静电场中的应用 171

习题9 175

习题答案与提示 176

习题1 176

习题2 176

习题3 177

习题4 179

习题5 181

习题6 182

习题7 183

习题8 184

习题9 186

附录 187

附录1　傅氏变换简表 187

附录2　拉氏变换简表 190

参考文献 195