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第一部分 模型 3

第1章 双轨迹的模型 3

§1.1 几何作图 3

§1.2 从例子到数学模型 4

§1.3 例子 5

§1.4 设想问题已经解出来了 7

§1.5 相似图形的模型 10

§1.6 例子 11

§1.7 辅助图形的模型 16

第1章的习题与评注 17

第2章 笛卡儿（Descartes）模型 24

§2.1 笛卡儿和他的万能方法 24

§2.2 一个小问题 25

§2.3 列方程 28

§2.4 课堂举例 31

§2.5 几何中的例子 35

§2.6 一个物理中的例子 41

§2.7 一个益智游戏 43

§2.8 两个迷惑人的例子 45

第2章的习题与评注 48

第3章 递归 65

§3.1 一个小小发现的故事 65

§3.2 帽子里掏出来的兔子 67

§3.3 不要光看不练 70

§3.4 递归 72

§3.5 符咒（abracadabra） 74

§3.6 帕斯卡（Pascal）三角形 78

§3.7 数学归纳法 80

§3.8 继续前进 83

§3.9 观察，推广，证明，再证明 84

第3章的习题与评注 87

第4章 叠加 109

§4.1 插值法 109

§4.2 一个特殊情形 112

§4.3 组合特殊情形以得出一般情形的解 113

§4.4 数学模型 114

第4章的习题与评注 117

§5.1 什么是问题？ 127

第二部分 通向一般方法 127

第5章 问题 127

§5.2 问题的分类 128

§5.3 求解的问题 129

§5.4 求证的问题 131

§5.5 未知量的元，条件的分款 132

§5.6 所要求的：程序 133

第5章的习题与评注 135

§6.1 扩大笛卡儿模型的范围 140

第6章 扩大模型的范围 140

§6.2 扩大双轨迹模型的范围 144

§6.3 从哪一个分款着手 151

§6.4 扩大递归模型的范围 155

§6.5 未知量的逐步征服 160

第6章的习题与评注 161

第7章 解题过程的几何图示 169

§7.1 隐喻 169

§7.2 问题是什么？ 170

§7.3 这是一个主意 171

§7.4 发展我们的想法 173

§7.5 彻底完成它 175

§7.6 慢镜头 176

§7.7 预习 178

§7.8 计划和程序 179

§7.9 题中之题 179

§7.10 想法的产生 180

§7.11 思维的作用 180

第7章的习题与评注 181

§7.12 思维的守则 181

第8章 计划和程序 191

§8.1 一个制订计划的模型 191

§8.2 更一般的模型 193

§8.3 程序 194

§8.4 在几个计划中选择 196

§8.5 计划与程序 198

§8.6 模型与计划 199

第8章的习题与评注 199

§9.1 辅助问题：达到目的的手段 207

第9章 题中之题 207

§9.2 等价问题：双侧变形 209

§9.3 等价问题的链 210

§9.4 较强或较弱的辅助问题：单侧变形 211

§9.5 间接的辅助问题 213

§9.6 材料上的帮助，方法论方面的帮助，激起的联想，导引，演习 214

第9章的习题与评注 215

第10章 想法的产生 228

§10.1 一线光明 228

§10.2 例子 229

§10.3 辅助想法的特征 232

§10.4 想法有赖于机会 234

第10章的习题与评注 235

第11章 思维的作用 237

§11.1 我们怎样思考 237

§11.2 有了一个问题 238

§11.3 相关性 238

§11.4 接近度 238

§11.5 预见 239

§11.6 探索范围 240

§11.7 决断 241

§11.8 动员与组织 242

§11.9 辨认与回忆 243

§11.10 充实与重新配置 243

§11.11 分离与组合 244

§11.12 一张图表 245

§11.13 部分启示着整体 248

第11章的习题与评注 250

§12.1 应该怎样思考 254

第12章 思维的守则 254

§12.2 集中目标 255

§12.3 估计前景 256

§12.4 所要求的：途径 257

§12.5 所要求的：更有希望的局面 258

§12.6 所要求的：有关的知识 259

§12.7 所要求的：重新估计形势 260

§12.8 提问题的艺术 261

第12章的习题与评注 262

§13.1 形形色色的规则 268

第13章 发现的规则？ 268

§13.2 合理性 269

§13.3 经济，但并不预加限制 270

§13.4 坚持，但有变化 271

§13.5 择优规则 272

§13.6 问题所固有的材料 273

§13.7 用得着的知识 274

§13.8 辅助问题 275

§13.9 总结 276

第13章的习题与评注 277

第14章 关于学、教和学教 279

§14.1 教不是一种科学 279

§14.2 教学的目标 280

§14.3 教是一种艺术 281

§14.4 学习三原则 283

§14.5 教学的三原则 285

§14.6 例子 288

§14.7 学习教学 294

§14.8 教师的思和行 297

第14章的习题与评注 303

第15章 猜测和科学方法 328

§15.1 课堂水平的研究问题 328

§15.2 例子 329

§15.3 讨论 330

§15.4 另一个例子 331

§15.5 归纳论述的图示 332

§15.6 一个历史上的例 335

§15.7 科学的方法：猜测和检验 343

§15.8 “研究题目”若干应有的特征 344

§15.9 结论 345

第15章的习题与评注 345

习题解答 359

第一卷附录 给教师及教师的教师的提示 438

第二卷附录 补充习题与解答 442

习题 442

解答 453

参考文献 472

后记 476