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第一章 一些通用的数学概念与记号 1

§1．逻辑符号 1

1．关系与括号 1

2．关于证明的注记 2

3．某些专门记号 3

4．最后的注记 3

练习 3

§2．集与集的初等运算 4

1．集合的概念 4

2．包含关系 5

3．最简单的集合运算 7

练习 9

§3．函数 10

1．函数（映射）的概念 10

2．映射的简单分类 13

3．函数的复合与互逆映射 14

4．作为关系的函数．函数的图像 16

练习 19

§4．某些补充 21

1．集的势（基数） 21

2．公理化集合论 23

3．关于数学命题的逻辑结构及其用集合论语言的写法的注记 24

练习 26

第二章 实数 29

§1．实数集的公理系统及它的某些一般性质 29

1．实数集的定义 29

2．实数的某些一般的代数性质 32

3．完备公理与数集的上（下）确界的存在性 36

§2．最重要的实数类及实数计算方面的一些问题 38

1．自然数与数学归纳原理 38

2．有理数与无理数 40

3．阿基米德原理 43

4．实数集的几何解释与实数计算方面的一些问题 44

练习 54

§3．与实数集的完备性有关的基本引理 58

1．闭区间套引理（柯西-康托尔原理） 58

2．有限覆盖引理（博雷尔-勒贝格原理） 59

3．极限点引理（波尔察诺-魏尔斯特拉斯原理） 60

练习 60

§4．可数集与不可数集 61

1．可数集 61

2．连续统的势 63

练习 63

第三章 极限 66

§1．序列的极限 66

1．定义和例子 66

2．数列极限的性质 68

3．数列极限的存在问题 72

4．级数的初步知识 81

练习 90

§2．函数的极限 93

1．定义和例子 93

2．函数极限的性质 97

3．函数极限的一般定义（对基的极限） 112

4．函数极限的存在问题 115

练习 130

第四章 连续函数 133

§1．基本定义和例子 133

1．函数在一点处的连续性 133

2．间断点 137

§2．连续函数的性质 140

1．局部性质 140

2．连续函数的整体性质 141

练习 149

第五章 微分学 154

§1．可微函数 154

1．问题和引言 154

2．在一点处可微的函数 158

3．切线；导数和微分的几何意义 161

4．坐标系的作用 163

5．一些例子 165

练习 170

§2．微分的基本法则 171

1．微分法和算术运算 171

2．复合函数的微分法 175

3．反函数的微分法 178

4．基本初等函数的导数表 182

5．最简单的隐函数的微分法 183

6．高阶导数 187

练习 190

§3．微分学的基本定理 191

1．费马引理和罗尔定理 191

2．拉格朗日和柯西的有限增量定理 193

3．泰勒公式 196

练习 208

§4．用微分学的方法研究函数 212

1．函数单调的条件（参看函数单调性检验法） 212

2．函数的内极值点条件 213

3．函数凸的条件 218

4．洛必达法则 225

5．作函数的图像 226

练习 235

§5．复数初等函数彼此间的联系 238

1．复数 238

2．C中的收敛及复数项级数 241

3．欧拉公式以及初等函数彼此间的联系 245

4．函数的幂级数表示，解析性 248

5．复数域C的代数封闭性 253

练习 259

§6．自然科学中应用微分学的一些例子 260

1．齐奥尔柯夫斯基公式 260

2．气压公式 262

3．放射衰变、连锁反应及原子反应堆 264

4．空气中的落体 266

5．再谈数e及指数函数exp x 267

6．振动 270

练习 273

§7．原函数 276

1．原函数和不定积分 276

2．求原函数的基本的一般方法 278

3．有理函数的原函数 284

4．？R（cos x，sin x）dx型的原函数 287

5．？R（x，y（x））dx型的原函数 289

练习 292

第六章 积分 298

§1．积分定义和可积函数集的描述 298

1．问题和启发性想法 298

2．黎曼积分的定义 299

3．可积函数集 301

练习 312

§2．积分的线性性、可加性和单调性 314

1．作为空间R［a，b］上的线性函数的积分 314

2．作为积分区间的可加函数的积分 314

3．积分的估计，积分的单调性和中值定理 316

练习 323

§3．积分和导数 324

1．积分和原函数 324

2．牛顿-莱布尼茨公式 326

3．定积分的分部积分法和泰勒公式 326

4．定积分中的变量替换 328

5．一些例子 330

练习 334

§4．积分的一些应用 336

1．定向区间的可加函数和积分 336

2．道路的长度 338

3．曲边梯形的面积 343

4．旋转体的体积 344

5．功与能 345

练习 350

§5．反常积分 351

1．反常积分的定义、例题和基本性质 351

2．反常积分收敛性的研究 355

3．具有几个奇异点的反常积分 360

练习 362

第七章 多变量函数和它的极限与连续性 365

§1．空间Rm和它的重要子集类 365

1．集合Rm和Rm中的距离 365

2．Rm中的开集与闭集 367

3．Rm中的紧集 369

练习 371

§2．多变量函数的极限与连续性 371

1．函数的极限 371

2．多变量连续函数及其性质 376

练习 380

第八章 多变量函数微分学 381

§1．Rm中的线性结构 381

1．作为向量空间的Rm 381

2．线性映射 382

3．Rm中的范数 383

4．Rm的欧几里得结构 384

§2．多变量函数的微分 386

1．多变量可微函数和函数在一点的微分 386

2．实值函数的偏导数与微分 387

3．映射的微分的坐标表示，雅可比矩阵 389

4．函数在一点的连续性、偏导数和可微性 390

§3．微分法的基本定律 391

1．微分法运算的线性性质 391

2．复合映射的微分法 393

3．逆映射的微分法 397

练习 399

§4．多变量实值函数微分学的基本事实 403

1．中值定理 403

2．多变量函数可微性的充分条件 405

3．高阶偏导数 406

4．泰勒公式 409

5．多变量函数的极值 411

6．与多变量函数有关的某些几何形象 417

练习 421

§5．隐函数定理 426

1．问题的提出与启发性想法 426

2．隐函数定理的最简单情形 428

3．过渡到依赖关系F（x1，…，xm，y）＝0的情形 431

4．隐函数定理 434

练习 438

§6．隐函数定理的一些推论 442

1．反函数定理 442

2．局部地把光滑映射化为典则形式 446

3．函数相关性 450

4．局部地分解微分同胚为最简形式的复合 451

5．莫尔斯引理 453

练习 456

§7．Rn中的曲面和条件极值理论 457

1．Rn中的k维曲面 458

2．切空间 462

3．条件极值 466

练习 477

口试试题 481

考试大纲 486

参考文献 489

名词索引 494

中文版修订者的话 509