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第八章 矢量代数与空间解析几何 1

§1 预备知识——二阶与三阶行列式 1

1.1 二阶行列式 1

1.2 三阶行列式 2

§2 矢量概念及其线性运算、矢量的投影 5

2.1 矢量概念 5

2.2 矢量的线性运算 6

2.3 矢量的投影 10

§3 空间直角坐标系 矢量的坐标表达式 11

3.1 空间直角坐标系 11

3.2 矢量的坐标表达式 12

§4 矢量的乘法 16

4.1 两矢量的数量积 16

4.2 两矢量的矢量积 19

4.3 三矢量的混合积 23

4.4 二重矢积 25

§5 空间直线与平面的方程 26

5.1 空间直线方程 26

5.2 平面方程 27

5.3 平面束方程 30

5.4 有关平面和空间直线的问题 31

6.1 曲面方程与空间曲线方程的概念 34

§6 曲面方程与空间曲线方程 34

6.2 柱面方程 36

6.3 锥面方程 37

6.4 旋转曲面方程 38

6.5 空间曲线在坐标平面上的投影 40

§7 二次曲面 坐标变换 42

7.1 常见的二次曲面 42

7.2 坐标变换 45

习题八 48

1.1 空间 55

§1 多元函数的基本概念 55

第九章 多元函数的微分学 55

1.2 多元函数的概念 57

1.3 多元函数的极限与连续 59

§2 偏导数 62

2.1 偏导数概念 62

2.2 高阶偏导数 65

§3 多元复合函数的偏导数 68

3.1 全增量公式 68

3.2 复合函数的偏导数 69

§4 隐函数的偏导数 74

5.1 多元函数全微分的概念 78

§5 全微分 78

5.2 全微分形式的不变性 79

5.3 全微分在近似计算与误差估计中的应用 82

§6 矢值函数与偏导数在几何上的应用 83

6.1 矢值函数与导矢量 84

6.2 空间曲线的切线与法平面 85

6.3 曲面的切平面与法线 87

§7 多元函数的极值与条件极值问题 91

7.1 极值及其判别法 91

7.2 最大最小值问题 92

7.3 条件极值与拉格朗日乘数法 94

7.4 二元函数的泰勒公式与极值的充分条件 99

§8 方向导数与数量场的梯度 102

8.1 数量场和矢量场 102

8.2 方向导数 103

8.3 数量场的梯度 105

习题九 107

第十章 重积分 116

§1 点函数积分的概念 116

1.1 点函数积分的定义 116

1.2 点函数积分的分类名称 117

1.4 点函数积分的性质 118

1.3 点函数可积的条件 118

§2 二重积分计算法 121

2.1 二重积分在直角坐标系中的计算法 121

2.2 二重积分在极坐标系中的计算法 125

§3 三重积分计算法 129

3.1 三重积分在直角坐标系中的计算法 129

3.2 三重积分在柱坐标系中的计算法 132

3.3 三重积分在球坐标系中的计算法 135

§4 重积分在一般曲线坐标系中的计算法 137

4.1 二重积分在一般曲线坐标系中的计算法 137

4.2 三重积分在一般曲线坐标系中计算法 139

习题十 141

第十一章 曲面积分 149

§1 第一类曲面积分计算法 149

1.1 曲面的面积 149

1.2 第一类曲面积分的计算法 150

§2 第二类曲面积分 152

2.1 双侧曲面 152

2.2 第二类曲面积分的概念 152

2.3 第二类曲面积分的性质 154

2.4 第二类曲面积分的计算法 154

§3 高斯公式 157

4.1 矢量场的通量 161

§4 矢量场的散度 161

4.2 矢量场的散度 162

习题十一 165

第十二章 曲线积分 170

§1 第一类曲线积分的计算法 170

1.1 平面曲线积分的计算公式 170

1.2 空间曲线积分的计算公式 170

§2 第二类曲线积分 172

2.1 第二类曲线积分的概念 172

2.3 第二类曲线积分的计算法 174

2.2 第二类曲线积分的性质 174

§3 格林公式 175

§4 平面上单连通区域内曲线积分与路径无关的条件 179

4.1 曲线积分与路径无关的四个等价条件 179

4.2 原函数的求法 181

4.3 全微分方程 182

4.4 对称型微分方程组 186

§5 斯托克斯公式 187

5.1 斯托克斯公式 187

5.2 空间曲线积分与路径无关的条件 189

§6 矢量场的旋度 190

6.2 旋度 191

6.1 矢量场的循环量 191

§7 有势场、无源场与调和场 194

7.1 有势场 194

7.2 无源场 197

7.3 调和场 198

§8 算子？与△的运算 199

8.1 ？算子 199

8.2 △算子 199

8.3 ？的运算规则 199

§9 梯度、散度、旋度在正交曲线坐标系下的表达式 201

9.1 曲线坐标下三度与调和量的一般表达式 202

9.2 柱坐标下三度与调和量的表达式 203

9.3 球坐标下三度与调和量的表达式 203

习题十二 204

第十三章 无穷级数 210

§1 基本概念 210

1.1 级数收敛与发散的定义 210

1.2 级数的基本性质 212

1.3 级数收敛的条件 214

§2 正项级数 215

2.1 比较判别法 215

2.2 达朗贝尔比值判别法 218

2.3 柯西根值判别法 220

2.4 柯西积分判别法 221

§3 变号项级数 222

3.1 交错级数收敛性判别法 222

3.2 变号项级数的绝对收敛与条件收敛 224

3.3 绝对收敛级数的运算性质 226

§4 函数项级数 228

4.1 函数项级数的概念 228

4.2 函数项级数的一致收敛性 229

4.3 一致收敛判别法 231

4.4 一致收敛级数的分析性质 233

5.1 幂级数的收敛半径与收敛区间 235

§5 幂级数 235

5.2 幂级数的分析性质 240

5.3 幂级数的四则运算 244

§6 函数展开成幂级数 245

6.1 泰勒级数 245

6.2 幂级数的若干应用 251

§7 傅里叶级数 256

7.1 三角函数系的正交性 256

7.2 傅里叶级数 257

7.3 在区间［0,l］上定义的函数的傅里叶级数展开 264

7.4 贝塞尔不等式 267

7.5 复数形式的傅里叶级数 268

习题十三 271

第十四章 含参变量积分 279

§1 含参变量的定积分 279

1.1 含参变量定积分的定义 279

1.2 含参变量定积分的分析性质 279

§2 含参变量的广义积分 283

2.1 无穷区间上含参变量的广义积分的定义 283

2.2 含参变量广义积分的一致收敛性 283

2.3 一致收敛判别法 284

2.4 一致收敛的广义积分的分析性质 286

2.5 二重广义积分的交换积分次序 289

2.6 无界函数的含参变量的广义积分 290

§3 B（Beta）函数 291

3.1 Γ（s）与B（p,q）的连续性 291

3.2 Γ（s）与B（p,q）的可导性 292

3.3 B（p,q）的计算公式 292

习题十四 295

附录 296

§1 微分方程解的存在唯一性定理 296

§2 高阶线性微分方程的通解 300

习题答案 303