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第一章 方程的导出及定解问题的提法 1

§1 基本概念 1

1.1 什么是偏微分方程 1

1.2 偏微分方程的解 1

目录 1

1.3 偏微分方程的阶 2

1.4 线性偏微分方程 2

1.5 非线性偏微分方程 3

习题1-1 3

§2 几个经典方程 4

2.1 弦振动方程 4

2.2 膜振动方程 6

2.3 热传导方程 8

2.4 拉普拉斯（Laplace）方程 9

§3 定解问题 10

3.1 定解问题 10

习题1-2 10

3.2 三类典型的边界条件 11

3.3 适定性 12

习题1-3 13

第二章 一阶偏微分方程 14

§1 基本概念 14

1.1 积分曲面 14

1.2 特征线与全特征线 15

2.1 通解的结构 17

习题2-1 17

§2 线性齐次偏微分方程 17

2.2 初值问题 21

习题2-2 23

§3 拟线性偏微分方程 24

3.1 通解的结构 24

3.2 初值问题 27

习题2-3 31

§4 完全非线性偏微分方程 32

习题2-4 38

第三章 特征理论与方程的分类 39

§1 二阶方程的特征 39

1.1 两个自变量的情形 39

1.2 多个自变量的情形 41

习题3-1 43

§2 二阶方程的分类 44

2.1 两个自变量的情形 44

2.2 多个自变量的情形 49

习题3-2 52

§3 一阶方程组的特征及分类 53

3.1 两个自变量的情形 53

3.2 多个自变量的情形 55

习题3-3 57

§1 Duhamel原理 58

1.1 Cauchy问题 58

第四章 双曲型方程 58

1.2 混合问题 61

习题4-1 62

§2 一维波动方程 63

2.1 齐次波动方程的Cauchy问题和特征线法 63

2.2 D'Alembe rt公式的物理意义 67

2.3 D'Alembert公式的几何解释 68

2.4 依赖区域、决定区域和影响区域 68

2.5 齐次波动方程的混合问题 70

2.6 非齐次波动方程的Cauchy问题 77

习题4-2 80

§3 高维波动方程 82

3.1 三维齐次波动方程的Cauchy问题 82

3.2 二维波动方程与降维法 86

3.3 依赖区域、决定区域和影响区域 88

3.4 波的传播速度 90

3.5 Poisson公式的物理意义 90

3.6 非齐次波动方程的Cauchy问题 92

习题4-3 94

§4 分离变量法 96

4.1 齐次波动方程的混合问题 96

4.2 非齐次波动方程的混合问题 101

4.3 一般的特征值问题 102

4.4 二维波动方程的混合问题 107

4.5 物理意义，驻波法 109

习题4-4 110

§5 能量积分、惟一性和稳定性 112

5.1 能量积分 112

5.2 混合问题解的惟一性 114

5.3 能量不等式 115

5.4 Cauchy问题解的惟一性和稳定性 119

习题4-5 122

第五章 抛物型方程 124

§1 热传导方程的Cauchy问题 124

1.1 齐次方程 124

1.2 非齐次方程 128

习题5-1 129

§2 热传导方程的混合问题 130

2.1 半直线上的热传导方程与热的反射 130

2.2 有限区间上的热传导方程与分离变量法 132

习题5-2 137

§3 极值原理、最大模估计、惟一性和稳定性 139

3.1 弱极值原理 139

3.2 第一边值问题解的最大模估计、惟一性与稳定性 142

3.3 第二、三边值问题解的最大模估计 144

3.4 Cauchy问题解的最大模估计 147

3.5 边值问题的能量估计 150

习题5-3 151

第六章 椭圆型方程 154

§1 调和函数 154

1.1 Green公式 154

1.2 调和函数与基本解 155

1.3 调和函数的基本性质 157

习题6-1 160

§2 Green函数 161

2.1 Green函数的定义 161

2.2 Green函数的几个重要性质 163

习题6-2 166

§3 球上的Dirichlet问题 167

3.1 Poisson公式 167

3.2 解的存在性 169

3.3 哈那克（Harnack）不等式及其应用 171

习题6-3 172

§4 极值原理、惟一性与稳定性 173

4.1 极值原理 173

4.2 第一边值问题解的惟一性和稳定性 176

4.3 第二边值问题解的惟一性 178

习题6-4 180

§5 分离变量法 181

习题6-5 185

1.1 Fourier变换 187

第七章 Fourier变换及其应用 187

§1 Fourier变换及其性质 187

1.2 基本性质 188

1.3 几个例子 191

1.4 高维空间的Fourier变换 192

习题7-1 193

§2 应用 194

习题7-2 196

第八章 Cauchy-Kovalevskaya定理和Lewy的反例 198

§1 Cauchy-Kovalevskaya定理 198

1.1 多重指标 198

1.2 实解析函数与强函数 199

1.3 Cauchy-Kovalevskaya定理 200

习题8-1 204

§2 Lcwy的反例 205

习题8-2 207

主要参考文献 208