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目录 1

第1章 函数 1

1.1 函数概念 1

1 1 1　集合 1

1 1 2　映射 函数 5

1 1 3　函数的表示 分段函数 7

练习1～8 12

1.2　函数的几个特性 13

1 2 1　有界性 13

1 2 3　奇偶性 14

1 2 2　单调性 14

1 2 4　周期性 15

练习9～12 16

1.3　复合函数 反函数 16

1 3 1　复合函数 16

1 3 2　反函数 19

练习13～18 21

1.4　初等函数 21

1 4 1　基本初等函数 21

1 4 2　初等函数概念 24

1 4 3　双曲函数与反双曲函数 25

1.5 改变量 26

1 5 1　概念与记号 26

练习19～20 26

1 5 2　常量与变量 29

练习21～23 30

1.6 建立函数关系的例 31

1 6 1　举例 31

1 6 2　经济中的几个常用函数 33

练习24～25 34

习题1 34

第2章　极限 38

2.1　数列极限 38

2 1 1　数列 子数列 38

2 1 2　数列极限的概念 40

2.1 3　收敛数列 42

2 1 4　极限运算法则 45

练习1～8 50

2.2　函数极限 51

2 2 1　函数极限概念 51

2 2 2　无穷小 无穷大 61

2.2 3　函数极限的性质 64

两个重要极限 64

2 2 4　无穷小的比较 符号“0”、“～”、“O” 73

练习9～24 77

2.3　连续函数 79

2 3 1　函数的连续性 79

2 3 2　函数的间断点 83

2 3 3　闭区间上连续函数的性质 86

练习25～32 90

习题2 90

第3章　导数与微分 93

3.1　导数的概念 93

3 1 1　两个等价问题 93

3 1 2　可微函数 96

3 1 3　导数的意义 100

练习1～7 105

3.2　微分法 106

3 2 1　四则运算法则 106

3 2 2　链式法则对数微分法 108

3 2 3　隐函数微分法 113

3 2 4　反函数微分法 115

3 2 5　由参数方程表示函数的微分法 117

3 2 6　微分法小结 120

练习8～18 121

3.3 高阶导数 123

3 3 1　二阶导数 123

3 3.2　高于二阶的高阶导数 126

练习19～22 127

3.4　微分 128

3 4 1　线性主部线性近似 128

3 4.2　微分微分形式不变性 131

练习23～31 135

习题3 136

第4章　微分中值定理与导数的应用 140

4.1 中值定理 140

4 1 1　极值点的必要条件 140

4.1 2　中值定理 143

练习1～14 148

4.2　泰勒公式 150

4 2.1　泰勒多项式 150

4 2 2　泰勒公式 152

练习15～24 158

4.3　利用导数研究函数 159

4 3 1　函数为常数的条件 159

4 3 2　单调性 161

4 3 3　局部极小和极大 163

4.3 4　凸性 169

4.3 5　洛必达法则 173

4 3 6　函数图形的描绘 185

练习25～55 191

4.4　微分学应用的另一些例 194

4 4 1　最大值、最小值问题 194

4 4 2　变化率问题 201

4 4 3　列微分方程 205

4 4 4　近似计算 209

4 4 5　平面曲线的曲率 214

练习56～88 219

习题4 222

5.1　定积分概念 227

5 1 1　两个等价问题 227

第5章　积分 227

5 1 2　定积分概念 229

5 1 3　基本性质几何意义 231

练习1～17 235

5.2　微积分基本定理 237

5 2 1　变上限定积分 237

5.2 2　原函数不定积分 243

5.2.3　牛顿-莱布尼茨公式 248

练习18～39 251

5 3 1　凑微分法 253

5.3　基本积分法 253

5 3 2　换元积分法 262

5 3 3　分部积分法 265

5.3 4　几类特定函数的积分法 269

练习40～53 277

5.4　定积分计算法 280

5 4 1　定积分的基本积分法 280

5 4 2　定积分的近似计算法 287

练习54～64 295

5.5　反常积分 297

5 5 1　无穷区间上的反常积分 297

5 5 2　无界函数的反常积分 300

练习65～69 302

习题5 303

第6章　定积分应用 310

6.1 几何应用 310

6 1 1　平面图形的面积 310

6.1 2　平面曲线的弧长 316

6 1 3　体积 318

6 1 4　旋转体的侧面积 324

练习1～14 326

6.2　物理应用 326

6 2 1　功 326

6 2 2　侧压力 330

6.2 3　一阶矩重心 331

6.2.4　动能转动惯量 333

练习15～30 335

6.3　其他应用 337

6 3 1　函数平均值的概念 337

6 3 2　均方根 339

6 3 3　在经济中的应用 340

练习31～39 343

习题6 344

第7章　微分方程 346

7.1　基本概念 346

7 1 1　定义 346

7 1 2　建立微分方程举例 348

练习1～9 350

7.2　一阶方程 351

7 2 1　可分离变量的方程 351

7 2 2　线性方程 354

7 2 3　齐次型方程伯努利方程 359

练习10～22 361

7.3　可降阶的高阶方程 363

7 3 1　形如y（n）=f（x）的方程 363

7 3 2　不显含因变量的方程 363

7 3 3　不显含自变量的方程 365

练习23～27 367

7 4 1　二阶线性方程及其解的结构 368

7.4　线性微分方程 368

7 4 2　二阶线性常系数方程 372

7 4 3　欧拉方程及高于二阶的方程 380

练习28～42 385

7.5　微分方程近似解法简介 387

7 5 1　数值解：龙格-库塔型解法 387

7 5 2　近似解析解：迭代法 390

练习43～45 392

7.6　几个实例 393

7 6 1　中间贮槽的容积 393

7 6 2　间壁式换热器的温差方程 394

7 6 3　放射性废物的处理 396

7 6 4　弹性横梁的振动 397

7.6.5　桥墩形状问题 399

习题7 400

第8章　无穷级数 402

8.1　数项级数 402

8 1 1　无穷级数 402

8 1 2　正项级数 407

8 1 3　绝对收敛级数 414

8 1 4　交错级数 417

8 1 5　数项级数小结 421

练习1～22 424

8.2　幂级数 428

8 2 1　引言 428

8 2 2　收敛半径 430

8 2 3　微分、积分、连续性 434

练习23～35 438

8.3　幂级数（续）：函数的幂级数展开与应用 440

8 3 1　泰勒级数 440

8 3 2　数项级数的求和 446

8 3 3　其他应用 448

练习36～46 452

习题8 454

练习与习题答案 456

附录1　差分、差分方程 487

附录2　二阶与三阶行列式 494

参考书目 498