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第1章 微分流形 1

1.1.微分流形的定义及例子 1

1.1.1 欧氏空间 1

1.1.2 微分流形的定义 3

1.1.3 微分流形的例子 7

1.1.4 微分流形之间的映射 12

习题1.1 16

1.2 切空间 17

1.2.1 代数预备知识 17

1.2.2 切空间 20

1.2.3 余切空间 25

习题1.2 27

1.3 切丛与向量场 27

1.3.1 切丛与向量场 28

1.3.2 李括号积 30

1.3.3 切映射与余切映射 32

习题1.3 35

1.4 子流形 36

1.4.1 预备定理 36

1.4.2 浸入与嵌入 38

习题1.4 41

1.5 Frobenius定理 42

1.5.1 积分曲线 42

1.5.2 Frobenius定理 44

1.5.3 积分子流形 47

习题1.5 50

第2章 外微分形式 52

2.1 张量与张量积 52

2.1.1 多重线性函数与张量积 52

2.1.2 张量 55

2.1.3 对称与反对称张量 57

习题2.1 60

2.2 外代数 60

习题2.2 68

2.3 矢丛 68

习题2.3 74

2.4 外微分形式 75

2.4.1 外微分形式 75

2.4.2 外微分 76

2.4.3 Frobenius定理的另一描述 82

习题2.4 84

2.5 单位分解与流形的定向 86

2.5.1 单位分解 86

2.5.2 流形的定向 88

2.5.3 带边流形 91

习题2.5 94

2.6 流形上的积分与Stokes定理 94

2.6.1 外形式的积分 95

2.6.2 Stokes定理 97

2.6.3 de Rham同调群 103

习题2.6 106

第3章 联络 108

3.1 联络和测地线 108

3.1.1 联络的定义及性质 108

3.1.2 平行移动和测地线 113

3.1.3 法坐标与指数映射 116

习题3.1 119

3.2 挠率和曲率 119

习题3.2 125

3.3 张量丛上的联络 125

3.3.1 矢丛上的联络 125

3.3.2 流形的张量丛上的联络 127

习题3.3 130

第4章 Riemann流形 131

4.1 Riemann几何基本定理 131

4.1.1 Riemann度量 131

4.1.2 Riemann联络 135

习题4.1 140

4.2 Riemann流形上的测地线 141

4.2.1 法极坐标 141

4.2.2 测地完备性 144

习题4.2 149

4.3 Riemann曲率 149

4.3.1 Riemann曲率张量 149

4.3.2 截面曲率 154

习题4.3 159

4.4 Jacobi场和共轭点 160

习题4.4 169

4.5 Riemann子流形 171

4.5.1 子流形的基本公式 171

4.5.2 活动标架法 175

4.5.3 欧氏空间的子流形 178

习题4.5 184

4.6 Hodge理论 184

4.6.1 星算子 185

4.6.2 Laplace算子 188

4.6.3 Hodge定理及其应用 196

4.6.4 Poincaré对偶 197

习题4.6 200

4.7 Gauss-Bonnet定理 201

4.7.1 Euler示性类 201

4.7.2 向量场零点的指标 203

4.7.3 Euler-Poincaré数 205

4.7.4 Gauss-Bonnet定理 206

习题4.7 208

第5章 李群 210

5.1 李群与李代数 210

5.1.1 李群的定义与例子 210

5.1.2 李代数 215

5.1.3 流形上的单参数变换群 223

习题5.1 227

5.2.李群同态与指数映射 228

5.2.1 李群同态 228

5.2.2 指数映射 233

习题5.2 236

5.3 李群与李代数的伴随表示 238

5.3.1 李群与李代数的伴随表示 238

5.3.2 Killing-Cartan内积 242

习题5.3 245

5.4 齐性流形 246

5.4.1 齐性流形 246

5.4.2 齐性流形上的Riemann几何 251

习题5.4 257

5.5 Riemann对称空间 258

5.5.1 对称空间的性质 258

5.5.2 对称空间的曲率 263

习题5.5 268

参考文献 270

第6章 纤维丛理论 272

6.1 矢丛同态与矢丛上的联络 272

6.1.1 矢丛的同态与同构 272

6.1.2 诱导丛 275

6.1.3 矢丛上的联络 277

习题6.1 282

6.2 纤维丛与主丛 283

6.2.1 纤维丛 283

6.2.2 主丛的定义与例 286

6.2.3 相配矢丛 290

习题6.2 292

6.3 主丛上的联络 292

6.3.1 矢丛的标架丛上的联络 293

6.3.2 主丛上联络的定义与性质 296

6.3.3 水平提升 300

6.3.4 主丛上联络的曲率 302

习题6.3 306

6.4 Hopf：S7→S4上的联络 307

习题6.4 312

6.5 再谈矢丛上的联络 313

习题6.5 317

6.6 和乐群 318

6.6.1 主丛上的和乐群 318

6.6.2 流形上的和乐群 321

习题6.6 322

6.7 Grassmann流形 323

习题6.7 329

第7章 复流形 330

7.1 复线性空间与复结构 330

习题7.1 336

7.2 复流形 338

7.2.1 复流形 338

7.2.2 复流形上的全纯矢丛 345

习题7.2 347

7.3 近复流形 348

7.3.1 近复流形 348

7.3.2 近复流形上的联络 352

习题7.3 353

7.4 Kaehler流形 354

习题7.4 361

7.5 Kaehler流形的例子 363

习题7.5 369

7.6 球面S2n上的复结构 371

7.6.1 欧氏空间R2n上的复结构 371

7.6.2 扭化空间？（S2n） 376

7.6.3 球面S2n上的等距近复结构 378

7.6.4 球面S2n上的近复结构 381

习题7.6 384

第8章 示性类 385

8.1 Chern-Weil同态 385

8.1.1 Ad（G）不变多项式 385

8.1.2 主丛上情形 388

8.1.3 矢丛上情形 391

习题8.1 392

8.2 Ad（G）不变多项式 393

8.2.1 U（n）不变多项式 394

8.2.2 O（n）与SO（n）不变多项式 397

习题8.2 400

8.3 陈类 401

习题8.3 411

8.4 Pontrjagin类与Euler类 412

8.4.1 Pontrjagin类 412

8.4.2 Euler类及其超渡式 415

8.4.3 Gauss-Bonnet定理 419

习题8.4 422

8.5 陈类，Pontrjagin类与Euler类的关系 423

习题8.5 428

8.6 Grassmann流形上的矢丛与示性类 429

8.6.1 Grassmann流形上的示性类 429

8.6.2 Grassmann流形的子流形 435

8.6.3 Grassmann流形的整同调群 438

习题8.6 444

8.7 Milnor的7维怪球 445

8.7.1 球面S4上的矢丛与示性类 445

8.7.2 Milnor怪球 453

习题8.7 456

第9章 Clifford代数与旋量群 458

9.1 Clifford代数与旋量群 458

9.1.1 Clifford代数的定义 458

9.1.2 旋量群 464

9.1.3 C？n上的欧氏内积 470

习题9.1 471

9.2 复Clifford代数 472

习题9.2 480

9.3 实Clifford代数 481

9.3.1 C？2n的情形 484

9.3.2 C？2n＋1的情形 489

9.3.3 Clifford代数的周期性 493

习题9.3 498

9.4 C？8及其应用 500

9.4.1 Clifford代数C？8 500

9.4.2 Triality变换 505

9.4.3 Grassmann流形的几何 510

习题9.4 518

9.5 球面上的向量场 519

习题9.5 522

9.6 自旋主丛与旋量丛 523

9.6.1 流形上的自旋结构 523

9.6.2 旋量丛上的联络 527

习题9.6 531

9.7 校准 532

9.7.1 校准的定义与性质 532

9.7.2 校准和Clifford代数 535

9.7.3 校准的微分方程 543

习题9.7 547

第10章 Atiyah-Singer指标定理 549

10.1 椭圆微分算子 549

10.1.1 矢丛上的微分算子与主象征 549

10.1.2 经典的椭圆微分算子 554

习题10.1 561

10.2 de Rham算子d＋δ与Atiyah-Singer算子的关系 561

10.2.1 算子d＋δ：A（M）→A（M） 562

10.2.2 Dirac算子 564

习题10.2 571

10.3 Dolbeault算子与Atiyah-Singer算子的关系 573

10.3.1 代数预备知识 573

10.3.2 Dolbeault算子与Atiyah-Singer算子的关系 577

习题10.3 582

10.4 Atiyah-Singer指标定理 582

习题10.4 590

10.5 Bochner技巧 591

10.5.1 Weitzenbock公式 591

10.5.2 Weitzenbock公式的运用 593

习题10.5 598

10.6 Yang-Mills方程与Seiberg-Witten方程 598

10.6.1 Yang-Mills方程 598

10.6.2 Seiberg-Witten方程 605

习题10.6 609

参考文献 610

名词索引 612