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第一篇 复变函数 3

第1章 复数与复变函数 3

1.1 复数 3

1.1.1 复数及其代数运算 3

1.1.2 复数的几何表示 5

1.1.3 复数四则运算的几何意义 7

1.1.4 扩充复平面 10

1.2 复数的乘幂与方根 11

1.2.1 复数的乘幂 11

1.2.2 复数的方根 12

1.3 平面点集 14

1.3.1 区域 14

1.3.2 曲线 14

1.3.3 单连通域和多连通域 15

1.4 复变函数 15

1.4.1 复变函数的概念 15

1.4.2 复变函数的几何解释——映照 17

1.4.3 反函数与复合函数 18

1.5 初等函数 19

1.5.1 指数函数 19

1.5.2 对数函数 20

1.5.3 幂函数 22

1.5.4 三角函数与反三角函数 22

1.5.5 双曲函数与反双曲函数 25

第1章习题 25

第2章 导数 31

2.1 复变函数的极限 31

2.1.1 复变函数极限的概念 31

2.1.2 复变函数极限定理 32

2.2 复变函数的连续性 35

2.2.1 复变函数连续的概念 35

2.2.2 复变函数连续的定理 35

2.3 导数 36

2.3.1 导数的概念 36

2.3.2 导数的运算法则 38

2.3.3 函数可导的必要与充分条件 39

2.3.4 高阶导数 43

2.4 解析函数 43

2.4.1 解析函数的概念 43

2.4.2 初等函数的解析性 44

2.4.3 函数解析的必要与充分条件 44

2.5 调和函数 45

2.5.1 调和函数的概念 45

2.5.2 已知实部或虚部的解析函数的表达式 46

第2章习题 49

第3章 积分 54

3.1 积分的概念、性质、计算 54

3.1.1 原函数与不定积分 54

3.1.2 积分及其性质 55

3.1.3 积分∫cf（z）dz值的计算 57

3.2 柯西定理及其推广 59

3.3 柯西积分公式 65

3.4 解析函数的导数 66

第3章习题 69

第4章 级数 76

4.1 收敛序列与收敛级数 76

4.1.1 收敛序列 76

4.1.2 收敛数项级数 78

4.1.3 函数项级数 80

4.2 幂级数 80

4.2.1 幂级数的概念 80

4.2.2 幂级数的收敛半径 82

4.2.3 幂级数和函数的性质 84

4.3 泰勒级数 85

4.4 洛朗级数 91

4.4.1 洛朗级数的概念 91

4.4.2 解析函数的洛朗展式 92

第4章习题 98

第5章 留数 103

5.1 解析函数的孤立奇点 103

5.1.1 孤立奇点z0的定义及分类 103

5.1.2 零点与极点的关系 106

5.1.3 孤立奇点∞的定义及分类 108

5.2 留数的一般理论 109

5.2.1 留数的定义及计算 109

5.2.2 留数定理 112

5.2.3 无穷远点的留数 114

5.3 留数在计算定积分和反常积分中的应用 117

第5章习题 121

第6章 保形映照 125

6.1 导数的几何意义及保形映照的概念 125

6.1.1 曲线的切向量 125

6.1.2 导数的几何意义 125

6.1.3 保形映照的概念 126

6.2 分式线性函数及其映照性质 127

6.2.1 分式线性函数 127

6.2.2 分式线性函数的映照性质 129

6.3 分式线性函数的应用 132

6.4 指数函数与幂函数所确定的映照 135

6.4.1 指数函数w＝ez所确定的映照 135

6.4.2 幂函数w＝zn所确定的映照 139

第6章习题 142

第7章 解析函数对平面向量场的应用 146

7.1 平面向量场 146

7.2 平面场的复势 148

7.3 应用 151

7.3.1 对流体力学的应用 151

7.3.2 对电学的应用 154

第二篇 积分变换 159

第1章 傅里叶变换 159

1.1 傅里叶积分 159

1.1.1 傅里叶积分的概念 159

1.1.2 傅里叶积分的物理意义——频谱 160

1.1.3 傅里叶积分定理 164

1.2 傅里叶变换 165

1.2.1 傅里叶变换的定义 165

1.2.2 傅里叶变换的性质 168

1.3 δ函数及其傅里叶变换 179

1.3.1 δ函数的概念 179

1.3.2 δ函数的性质 183

1.3.3 δ函数的傅里叶变换 185

1.4 离散傅里叶变换和离散沃尔什变换 187

1.4.1 离散傅里叶变换 187

1.4.2 快速傅里叶变换 190

1.4.3 离散沃尔什变换 193

第1章习题 196

第2章 拉普拉斯变换 199

2.1 拉普拉斯变换的概念 199

2.1.1 拉普拉斯积分 199

2.1.2 拉普拉斯变换 203

2.2 拉普拉斯逆变换 205

2.3 拉普拉斯变换的性质 209

2.4 拉普拉斯变换的应用 225

2.4.1 线性微分方程及微分方程组 225

2.4.2 具有特殊扰动函数的微分方程 230

2.5 梅林变换和z变换 232

2.5.1 梅林变换 232

2.5.2 z变换 234

第2章习题 237

数学实验 245

实验一 Matlab软件的应用 245

实验二 快速傅里叶变换、拉普拉斯逆变换的计算程序 248

附录A 区域变换表 260

附录B 傅里叶变换简表 265

附录C 拉普拉斯变换简表 270

习题答案 276

主要参考书 291